Номер 7.67, страница 63, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.67. При каких значениях $\text{a}$ уравнение $x^2 - 4x - \log_2 a = 0$ имеет действительные корни?

Данное уравнение $x^2 - 4x - \log_2 a = 0$ является квадратным относительно переменной $\text{x}$.

Квадратное уравнение имеет действительные корни тогда и только тогда, когда его дискриминант $\text{D}$ не отрицателен, то есть $D \ge 0$.

Во-первых, определим область допустимых значений (ОДЗ) для параметра $\text{a}$. Выражение $\log_2 a$ определено только при $a > 0$.

Коэффициенты данного квадратного уравнения (для стандартного вида $Ax^2+Bx+C=0$) равны: $A=1$, $B=-4$, $C = -\log_2 a$.

Найдем дискриминант по формуле $D = B^2 - 4AC$: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-\log_2 a) = 16 + 4\log_2 a$.

Условие наличия действительных корней $D \ge 0$ приводит к неравенству: $16 + 4\log_2 a \ge 0$.

Решим это неравенство относительно $\text{a}$: $4\log_2 a \ge -16$ $\log_2 a \ge -4$

Поскольку основание логарифма $\text{2}$ больше $\text{1}$, логарифмическая функция $y=\log_2 x$ является возрастающей. Следовательно, при потенцировании обеих частей неравенства знак неравенства сохраняется: $a \ge 2^{-4}$ $a \ge \frac{1}{16}$.

Теперь необходимо учесть ОДЗ, найденное ранее: $a > 0$. Мы должны найти пересечение двух условий: $\begin{cases} a \ge \frac{1}{16} \\ a > 0 \end{cases}$

Так как любое число, большее или равное $\frac{1}{16}$, автоматически является положительным (поскольку $\frac{1}{16} > 0$), то решением системы является $a \ge \frac{1}{16}$.

Ответ: $a \in [\frac{1}{16}, +\infty)$.