Номер 7.54, страница 61, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.54. Решите уравнение:

1) $ \lg \sqrt{3x+1} + \lg \sqrt{x+4} = \lg 12; $

2) $ \lg(x-2) - \lg \sqrt{x-4} = \lg 3; $

3) $ (x^2 - 4)\log_3(1 - x^2 - 3x) = 0; $

4) $ (x^2 - x - 2)\log_2(x^2 - 4x + 4) = 0. $

1) Дано уравнение: $lg\sqrt{3x+1} + lg\sqrt{x+4} = lg12$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком логарифма должны быть строго положительными:

$\begin{cases} \sqrt{3x+1} > 0 \\ \sqrt{x+4} > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3x+1 > 0 \\ x+4 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -1/3 \\ x > -4 \end{cases}$.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > -1/3$.

Применим свойство суммы логарифмов $lg(a) + lg(b) = lg(ab)$:

$lg(\sqrt{3x+1} \cdot \sqrt{x+4}) = lg12$

$lg\sqrt{(3x+1)(x+4)} = lg12$

Поскольку основания логарифмов одинаковы, мы можем приравнять их аргументы:

$\sqrt{(3x+1)(x+4)} = 12$

Возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(3x+1)(x+4) = 144$

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:

$3x^2 + 12x + x + 4 = 144$

$3x^2 + 13x - 140 = 0$

Решаем полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 13^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-140) = 169 + 1680 = 1849 = 43^2$

Находим корни уравнения:

$x_1 = \frac{-13 + 43}{2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5$

$x_2 = \frac{-13 - 43}{2 \cdot 3} = \frac{-56}{6} = -\frac{28}{3}$

Проверяем, принадлежат ли корни ОДЗ ($x > -1/3$):

Корень $x_1 = 5$ удовлетворяет условию $5 > -1/3$.

Корень $x_2 = -28/3 \approx -9.33$ не удовлетворяет условию, так как $-28/3 \ngtr -1/3$.

Следовательно, уравнение имеет один корень.

Ответ: 5.

2) Дано уравнение: $lg(x-2) - lg\sqrt{x-4} = lg3$.

ОДЗ: Выражения под знаком логарифма должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x-2 > 0 \\ \sqrt{x-4} > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 2 \\ x-4 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 2 \\ x > 4 \end{cases}$.

Следовательно, ОДЗ: $x > 4$.

Применим свойство разности логарифмов $lg(a) - lg(b) = lg(a/b)$:

$lg\frac{x-2}{\sqrt{x-4}} = lg3$

Приравниваем аргументы логарифмов:

$\frac{x-2}{\sqrt{x-4}} = 3$

Возводим обе части в квадрат:

$\frac{(x-2)^2}{x-4} = 9$

$(x-2)^2 = 9(x-4)$

Раскрываем скобки:

$x^2 - 4x + 4 = 9x - 36$

Переносим все члены в левую часть и приводим подобные:

$x^2 - 13x + 40 = 0$

Решаем квадратное уравнение (например, по теореме Виета: сумма корней равна 13, произведение равно 40):

$x_1 = 5$, $x_2 = 8$

Проверяем корни на соответствие ОДЗ ($x > 4$):

$x_1 = 5$ удовлетворяет условию $5 > 4$.

$x_2 = 8$ удовлетворяет условию $8 > 4$.

Оба корня являются решениями уравнения.

Ответ: 5; 8.

3) Дано уравнение: $(x^2 - 4)log_8(1 - x^2 - 3x) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом существует.

ОДЗ: Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$1 - x^2 - 3x > 0$

$x^2 + 3x - 1 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 1 = 0$: $D = 3^2 - 4(1)(-1) = 13$, $x = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}$.

Так как ветви параболы $y = x^2 + 3x - 1$ направлены вверх, неравенство выполняется между корнями.

ОДЗ: $x \in (\frac{-3 - \sqrt{13}}{2}; \frac{-3 + \sqrt{13}}{2})$. Приблизительно: $x \in (-3.3; 0.3)$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: Первый множитель равен нулю.

$x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = 2$ или $x = -2$.

Проверяем по ОДЗ:

$x = 2$ не входит в интервал $(-3.3; 0.3)$.

$x = -2$ входит в интервал $(-3.3; 0.3)$, значит, является корнем.

Случай 2: Второй множитель равен нулю.

$log_8(1 - x^2 - 3x) = 0$

По определению логарифма, его значение равно нулю, когда аргумент равен 1:

$1 - x^2 - 3x = 1$

$-x^2 - 3x = 0$

$-x(x+3) = 0 \Rightarrow x = 0$ или $x = -3$.

Проверяем по ОДЗ:

$x = 0$ входит в интервал $(-3.3; 0.3)$, значит, является корнем.

$x = -3$ входит в интервал $(-3.3; 0.3)$, значит, является корнем.

Объединяем все найденные корни.

Ответ: -3; -2; 0.

4) Дано уравнение: $(x^2 - x - 2)log_2(x^2 - 4x + 4) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, а другой при этом определен.

ОДЗ: Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x^2 - 4x + 4 > 0$

$(x - 2)^2 > 0$

Это неравенство верно для всех действительных чисел, кроме $x=2$. Итак, ОДЗ: $x \neq 2$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: Первый множитель равен нулю.

$x^2 - x - 2 = 0$

По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Проверяем по ОДЗ:

$x_1 = 2$ не входит в ОДЗ, так как $x \neq 2$. Этот корень посторонний.

$x_2 = -1$ входит в ОДЗ, значит, является решением.

Случай 2: Второй множитель равен нулю.

$log_2(x^2 - 4x + 4) = 0$

$x^2 - 4x + 4 = 2^0$

$x^2 - 4x + 4 = 1$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

По теореме Виета, корни $x_3 = 1$ и $x_4 = 3$.

Проверяем по ОДЗ:

$x_3 = 1$ входит в ОДЗ ($1 \neq 2$).

$x_4 = 3$ входит в ОДЗ ($3 \neq 2$).

Оба корня являются решениями.

Собираем все найденные решения.

Ответ: -1; 1; 3.