Номер 7.48, страница 60, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7.48. Решите уравнение:

1) $\log_{\frac{1}{2}} (x^2 + 1) = \log_{\frac{1}{2}} (2x - 5);$

2) $0,1 \text{lg}^2 x - \text{lg}x + 0,9 = 0;$

3) $\text{lg}(x^2 - x) = 1 - \text{lg}5;$

4) $\log_6 (2x^2 - x) = 1 - \log_6 2.$

1) Исходное уравнение: $\log_{\frac{1}{2}}(x^2 + 1) = \log_{\frac{1}{2}}(2x - 5)$.

Логарифмическая функция определена, если ее аргумент больше нуля. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} x^2 + 1 > 0 \\ 2x - 5 > 0 \end{cases}$

Первое неравенство $x^2 + 1 > 0$ выполняется для любого действительного $\text{x}$, так как $x^2 \ge 0$, и, следовательно, $x^2 + 1 \ge 1 > 0$.

Второе неравенство $2x - 5 > 0$ дает $2x > 5$, то есть $x > 2,5$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (2,5; +\infty)$.

Поскольку основания логарифмов в уравнении равны, мы можем приравнять их аргументы:

$x^2 + 1 = 2x - 5$

$x^2 - 2x + 1 + 5 = 0$

$x^2 - 2x + 6 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 4 - 24 = -20$.

Так как дискриминант $D < 0$, у квадратного уравнения нет действительных корней.

Следовательно, исходное логарифмическое уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

2) Исходное уравнение: $0,1 \cdot \lg x \cdot \lg x - \lg x + 0,9 = 0$.

Это уравнение можно записать в виде $0,1 (\lg x)^2 - \lg x + 0,9 = 0$.

ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положительным, то есть $x > 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \lg x$. Уравнение примет вид:

$0,1t^2 - t + 0,9 = 0$

Умножим обе части уравнения на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$t^2 - 10t + 9 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 10, а их произведение равно 9. Корни легко находятся: $t_1 = 1$ и $t_2 = 9$.

Выполним обратную замену:

1) $\lg x = t_1 = 1$. По определению десятичного логарифма, $x = 10^1 = 10$.

2) $\lg x = t_2 = 9$. По определению, $x = 10^9$.

Оба корня ($10$ и $10^9$) удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $10; 10^9$.

3) Исходное уравнение: $\lg(x^2 - x) = 1 - \lg 5$.

ОДЗ: аргумент логарифма должен быть строго положительным.

$x^2 - x > 0$

$x(x - 1) > 0$

Решая это неравенство методом интервалов, получаем $x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty)$.

Преобразуем исходное уравнение. Перенесем $\lg 5$ в левую часть:

$\lg(x^2 - x) + \lg 5 = 1$

Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:

$\lg((x^2 - x) \cdot 5) = 1$

Представим 1 как десятичный логарифм: $1 = \lg 10$.

$\lg(5x^2 - 5x) = \lg 10$

Приравниваем аргументы логарифмов:

$5x^2 - 5x = 10$

$5x^2 - 5x - 10 = 0$

Разделим все уравнение на 5:

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 1, произведение равно -2.

Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Проверим, удовлетворяют ли корни ОДЗ ($x < 0$ или $x > 1$).

Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию $x > 1$.

Корень $x_2 = -1$ удовлетворяет условию $x < 0$.

Оба корня подходят.

Ответ: $-1; 2$.

4) Исходное уравнение: $\log_6(2x^2 - x) = 1 - \log_6 2$.

ОДЗ: аргумент логарифма должен быть строго положительным.

$2x^2 - x > 0$

$x(2x - 1) > 0$

Решая это неравенство методом интервалов, получаем $x \in (-\infty; 0) \cup (0,5; +\infty)$.

Преобразуем исходное уравнение, перенеся $\log_6 2$ в левую часть:

$\log_6(2x^2 - x) + \log_6 2 = 1$

Используем свойство суммы логарифмов:

$\log_6((2x^2 - x) \cdot 2) = 1$

Представим 1 как логарифм по основанию 6: $1 = \log_6 6$.

$\log_6(4x^2 - 2x) = \log_6 6$

Приравниваем аргументы логарифмов:

$4x^2 - 2x = 6$

$4x^2 - 2x - 6 = 0$

Разделим все уравнение на 2:

$2x^2 - x - 3 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 5}{4}$.

$x_1 = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1,5$.

$x_2 = \frac{1 - 5}{4} = \frac{-4}{4} = -1$.

Проверим, удовлетворяют ли корни ОДЗ ($x < 0$ или $x > 0,5$).

Корень $x_1 = 1,5$ удовлетворяет условию $x > 0,5$.

Корень $x_2 = -1$ удовлетворяет условию $x < 0$.

Оба корня подходят.

Ответ: $-1; 1,5$.