Номер 8.42, страница 98, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.42. Найдите общее решение дифференциального уравнения и его частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

1) $y'' - 5y' + 6y = 0$, $y = 1$ и $y' = 0$ при $x = 0$;

2) $y'' - 9y = 0$, $y(0) = 0$ и $y(0)' = 1$;

3) $y'' - 5y' = 0$, $y = 0$ и $y' = 4$ при $x = 0$;

4) $v'' - v = 0$, $v(-1) = -1$ и $v(1) = 1$.

1) Дано уравнение $y'' - 5y' + 6y = 0$ с начальными условиями $y(0) = 1$ и $y'(0) = 0$.

Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения составляем характеристическое уравнение:

$r^2 - 5r + 6 = 0$

Находим его корни. По теореме Виета (или через дискриминант) уравнение можно разложить на множители: $(r - 2)(r - 3) = 0$. Корни уравнения: $r_1 = 2$ и $r_2 = 3$.

Так как корни действительные и различные, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

$y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x}$

Далее находим частное решение, используя начальные условия. Для этого сначала найдем производную общего решения:

$y'(x) = \frac{d}{dx}(C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x}) = 2C_1 e^{2x} + 3C_2 e^{3x}$

Теперь подставим начальные условия $x=0$, $y=1$, $y'=0$ в выражения для $y(x)$ и $y'(x)$:

$y(0) = C_1 e^{2 \cdot 0} + C_2 e^{3 \cdot 0} = C_1 \cdot 1 + C_2 \cdot 1 = C_1 + C_2 = 1$

$y'(0) = 2C_1 e^{2 \cdot 0} + 3C_2 e^{3 \cdot 0} = 2C_1 \cdot 1 + 3C_2 \cdot 1 = 2C_1 + 3C_2 = 0$

Получили систему линейных уравнений для нахождения констант $C_1$ и $C_2$:

$\begin{cases} C_1 + C_2 = 1 \\ 2C_1 + 3C_2 = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $C_1 = 1 - C_2$ и подставим во второе:

$2(1 - C_2) + 3C_2 = 0$

$2 - 2C_2 + 3C_2 = 0$

$C_2 = -2$

Теперь найдем $C_1$: $C_1 = 1 - C_2 = 1 - (-2) = 3$.

Подставляем найденные значения $C_1 = 3$ и $C_2 = -2$ в общее решение, чтобы получить искомое частное решение:

$y(x) = 3e^{2x} - 2e^{3x}$

Ответ: общее решение $y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x}$, частное решение $y(x) = 3e^{2x} - 2e^{3x}$.

2) Дано уравнение $y'' - 9y = 0$ с начальными условиями $y(0) = 0$ и $y'(0) = 1$.

Составляем характеристическое уравнение:

$r^2 - 9 = 0$

Находим его корни: $r^2 = 9$, откуда $r = \pm 3$. Корни $r_1 = 3$ и $r_2 = -3$.

Так как корни действительные и различные, общее решение имеет вид:

$y(x) = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-3x}$

Находим производную общего решения:

$y'(x) = 3C_1 e^{3x} - 3C_2 e^{-3x}$

Подставляем начальные условия $y(0)=0$ и $y'(0)=1$:

$y(0) = C_1 e^0 + C_2 e^0 = C_1 + C_2 = 0$

$y'(0) = 3C_1 e^0 - 3C_2 e^0 = 3C_1 - 3C_2 = 1$

Решаем систему уравнений:

$\begin{cases} C_1 + C_2 = 0 \\ 3C_1 - 3C_2 = 1 \end{cases}$

Из первого уравнения следует, что $C_2 = -C_1$. Подставляем это во второе уравнение:

$3C_1 - 3(-C_1) = 1$

$6C_1 = 1 \implies C_1 = \frac{1}{6}$

Тогда $C_2 = -C_1 = -\frac{1}{6}$.

Частное решение имеет вид:

$y(x) = \frac{1}{6}e^{3x} - \frac{1}{6}e^{-3x}$

Ответ: общее решение $y(x) = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-3x}$, частное решение $y(x) = \frac{1}{6}e^{3x} - \frac{1}{6}e^{-3x}$.

3) Дано уравнение $y'' - 5y' = 0$ с начальными условиями $y(0) = 0$ и $y'(0) = 4$.

Характеристическое уравнение:

$r^2 - 5r = 0$

Выносим $\text{r}$ за скобки: $r(r - 5) = 0$. Корни уравнения: $r_1 = 0$ и $r_2 = 5$.

Поскольку корни действительные и различные, общее решение имеет вид:

$y(x) = C_1 e^{0 \cdot x} + C_2 e^{5x} = C_1 + C_2 e^{5x}$

Находим производную:

$y'(x) = 5C_2 e^{5x}$

Подставляем начальные условия $y(0)=0$ и $y'(0)=4$:

$y(0) = C_1 + C_2 e^0 = C_1 + C_2 = 0$

$y'(0) = 5C_2 e^0 = 5C_2 = 4$

Из второго уравнения сразу находим $C_2 = \frac{4}{5}$.

Подставляем это значение в первое уравнение: $C_1 + \frac{4}{5} = 0 \implies C_1 = -\frac{4}{5}$.

Частное решение:

$y(x) = -\frac{4}{5} + \frac{4}{5}e^{5x} = \frac{4}{5}(e^{5x} - 1)$

Ответ: общее решение $y(x) = C_1 + C_2 e^{5x}$, частное решение $y(x) = \frac{4}{5}(e^{5x} - 1)$.

4) Дано уравнение $v'' - v = 0$ с граничными условиями $v(-1) = -1$ и $v(1) = 1$.

Характеристическое уравнение:

$r^2 - 1 = 0$

Корни уравнения $r^2 = 1$, то есть $r_1 = 1$ и $r_2 = -1$.

Общее решение имеет вид:

$v(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x}$

Используем граничные условия для нахождения констант $C_1$ и $C_2$.

При $x=-1, v=-1$:

$v(-1) = C_1 e^{-1} + C_2 e^{-(-1)} = C_1 e^{-1} + C_2 e = -1$

При $x=1, v=1$:

$v(1) = C_1 e^{1} + C_2 e^{-1} = 1$

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} C_1 e^{-1} + C_2 e = -1 \\ C_1 e + C_2 e^{-1} = 1 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения:

$C_1 e^{-1} + C_2 e + C_1 e + C_2 e^{-1} = -1 + 1$

$C_1(e + e^{-1}) + C_2(e + e^{-1}) = 0$

$(C_1 + C_2)(e + e^{-1}) = 0$

Так как $e + e^{-1} \neq 0$, то отсюда следует, что $C_1 + C_2 = 0$, или $C_2 = -C_1$.

Подставим $C_2 = -C_1$ во второе уравнение системы:

$C_1 e + (-C_1) e^{-1} = 1$

$C_1(e - e^{-1}) = 1 \implies C_1 = \frac{1}{e - e^{-1}}$

Следовательно, $C_2 = -C_1 = -\frac{1}{e - e^{-1}}$.

Подставляем найденные константы в общее решение:

$v(x) = \frac{1}{e - e^{-1}} e^x - \frac{1}{e - e^{-1}} e^{-x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e - e^{-1}}$

Ответ: общее решение $v(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x}$, частное решение $v(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e - e^{-1}}$.