Номер 8.50, страница 99, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8.50. Покажите, что функция $y = A\cos(\omega t + \varphi)$ является решением уравнения $y'' + \omega^2 y = 0$. Не противоречит ли этот факт примеру 2? Обоснуйте ответ.

Чтобы показать, что функция $y = A\cos(\omega t + \phi)$ является решением уравнения $y'' + \omega^2 y = 0$, нужно найти вторую производную функции $\text{y}$ и подставить ее в уравнение.

1. Исходная функция: $y(t) = A\cos(\omega t + \phi)$.

2. Находим первую производную $y'(t)$ по переменной $\text{t}$, используя правило дифференцирования сложной функции: $y'(t) = \frac{d}{dt}(A\cos(\omega t + \phi)) = A \cdot (-\sin(\omega t + \phi)) \cdot (\omega t + \phi)' = -A\omega\sin(\omega t + \phi)$.

3. Находим вторую производную $y''(t)$: $y''(t) = \frac{d}{dt}(-A\omega\sin(\omega t + \phi)) = -A\omega \cdot \cos(\omega t + \phi) \cdot (\omega t + \phi)' = -A\omega^2\cos(\omega t + \phi)$.

4. Теперь подставляем выражения для $y(t)$ и $y''(t)$ в левую часть исходного уравнения $y'' + \omega^2 y = 0$: $(-A\omega^2\cos(\omega t + \phi)) + \omega^2(A\cos(\omega t + \phi))$.

5. Упрощая выражение, получаем: $-A\omega^2\cos(\omega t + \phi) + A\omega^2\cos(\omega t + \phi) = 0$.

Так как в результате подстановки мы получили тождество $0 = 0$, функция $y = A\cos(\omega t + \phi)$ действительно является решением данного дифференциального уравнения.

Ответ: Функция $y = A\cos(\omega t + \phi)$ является решением уравнения $y'' + \omega^2 y = 0$, что было доказано путем нахождения второй производной и подстановки в уравнение.

Относительно второго вопроса: "Не противоречит ли этот факт примеру 2?". Предположим, что в "примере 2" было показано, что решением того же уравнения является другая функция, например, $y(t) = C_1\cos(\omega t) + C_2\sin(\omega t)$, что является стандартной формой общего решения данного уравнения.

Этот факт не создает никакого противоречия. Формы $y(t) = A\cos(\omega t + \phi)$ и $y(t) = C_1\cos(\omega t) + C_2\sin(\omega t)$ являются эквивалентными представлениями одного и того же общего решения. Чтобы это показать, можно преобразовать одну форму в другую.

Используем тригонометрическую формулу косинуса суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$. Применительно к нашей функции: $y(t) = A\cos(\omega t + \phi) = A(\cos(\omega t)\cos(\phi) - \sin(\omega t)\sin(\phi))$.

Раскроем скобки и перегруппируем члены: $y(t) = (A\cos\phi)\cos(\omega t) + (-A\sin\phi)\sin(\omega t)$.

Сравнивая это выражение с формой $y(t) = C_1\cos(\omega t) + C_2\sin(\omega t)$, мы видим, что они идентичны, если принять: $C_1 = A\cos\phi$ $C_2 = -A\sin\phi$

Таким образом, обе записи описывают одно и то же множество решений — гармонические колебания. Они лишь используют разные наборы из двух произвольных постоянных: $(A, \phi)$ (амплитуда и начальная фаза) или $(C_1, C_2)$ (коэффициенты линейной комбинации). Поскольку одна форма может быть преобразована в другую, никакого противоречия нет.

Ответ: Нет, этот факт не противоречит другим возможным формам записи решения, так как форма $y = A\cos(\omega t + \phi)$ является эквивалентным представлением общего решения данного дифференциального уравнения.