Номер 9.18, страница 104, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.18. Разложите на множители:

1) $5xy^3 + 30x^2z^2 - 6x^3yz - 25y^2z;$

2) $15m^3n^2p - 35p^2nq^3 + 25mn^3q^2 - 21m^2p^3q;$

3) $32c^5 - 3^5;$

4) $(4a)^5 + (2b)^5;$

5) $(2x)^6 + (3y)^6.$

1) $5xy^3 + 30x^2z^2 - 6x^3yz - 25y^2z$

Для разложения на множители многочлена с четырьмя членами используем метод группировки. Сгруппируем слагаемые так, чтобы можно было вынести общий множитель за скобки.

Сгруппируем первое слагаемое с четвертым, а второе с третьим:

$(5xy^3 - 25y^2z) + (30x^2z^2 - 6x^3yz)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $5y^2$:

$5y^2(xy - 5z)$

Во второй группе вынесем за скобки общий множитель $6x^2z$:

$6x^2z(5z - xy)$

Теперь выражение имеет вид:

$5y^2(xy - 5z) + 6x^2z(5z - xy)$

Заметим, что выражения в скобках отличаются только знаком: $(xy - 5z) = -(5z - xy)$. Вынесем знак минус из второго слагаемого:

$5y^2(xy - 5z) - 6x^2z(xy - 5z)$

Теперь можно вынести за скобки общий множитель $(xy - 5z)$:

$(xy - 5z)(5y^2 - 6x^2z)$

Ответ: $(xy - 5z)(5y^2 - 6x^2z)$

2) $15m^3n^2p - 35p^2nq^3 + 25mn^3q^2 - 21m^2p^3q$

Используем метод группировки. Переставим слагаемые для удобства группировки. Сгруппируем первое слагаемое с третьим, а второе с четвертым.

$(15m^3n^2p + 25mn^3q^2) + (-35p^2nq^3 - 21m^2p^3q)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $5mn^2$:

$5mn^2(3m^2p + 5nq^2)$

Во второй группе вынесем за скобки общий множитель $-7p^2q$:

$-7p^2q(5nq^2 + 3m^2p)$

Теперь выражение выглядит так:

$5mn^2(3m^2p + 5nq^2) - 7p^2q(3m^2p + 5nq^2)$

Вынесем общий множитель $(3m^2p + 5nq^2)$ за скобки:

$(3m^2p + 5nq^2)(5mn^2 - 7p^2q)$

Ответ: $(3m^2p + 5nq^2)(5mn^2 - 7p^2q)$

3) $32c^5 - b^5$

Данное выражение является разностью пятых степеней. Представим $32c^5$ как $(2c)^5$:

$(2c)^5 - b^5$

Воспользуемся формулой разности пятых степеней: $a^5 - d^5 = (a - d)(a^4 + a^3d + a^2d^2 + ad^3 + d^4)$.

В нашем случае $a = 2c$ и $d = b$.

$(2c - b)((2c)^4 + (2c)^3b + (2c)^2b^2 + (2c)b^3 + b^4)$

Упростим выражение во второй скобке:

$(2c - b)(16c^4 + 8c^3b + 4c^2b^2 + 2cb^3 + b^4)$

Ответ: $(2c - b)(16c^4 + 8c^3b + 4c^2b^2 + 2cb^3 + b^4)$

4) $(4a)^5 + (2b)^5$

Данное выражение является суммой пятых степеней. Сначала упростим его, вынеся общий множитель.

$(4a)^5 + (2b)^5 = (2^2a)^5 + (2b)^5 = 2^{10}a^5 + 2^5b^5 = 32 \cdot 2^5a^5 + 32b^5 = 32((2a)^5 + b^5)$

Теперь разложим на множители выражение в скобках, используя формулу суммы пятых степеней: $x^5 + y^5 = (x + y)(x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3 + y^4)$.

В нашем случае $x = 2a$ и $y = b$.

$32(2a + b)((2a)^4 - (2a)^3b + (2a)^2b^2 - (2a)b^3 + b^4)$

Упростим выражение в последней скобке:

$32(2a + b)(16a^4 - 8a^3b + 4a^2b^2 - 2ab^3 + b^4)$

Ответ: $32(2a+b)(16a^4 - 8a^3b + 4a^2b^2 - 2ab^3 + b^4)$

5) $(2x)^6 + (3y)^6$

Это выражение является суммой шестых степеней. Его можно представить как сумму кубов, так как $6 = 2 \cdot 3$.

$((2x)^2)^3 + ((3y)^2)^3 = (4x^2)^3 + (9y^2)^3$

Воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

В нашем случае $a = 4x^2$ и $b = 9y^2$.

$(4x^2 + 9y^2)((4x^2)^2 - (4x^2)(9y^2) + (9y^2)^2)$

Упростим выражение во второй скобке:

$(4x^2 + 9y^2)(16x^4 - 36x^2y^2 + 81y^4)$

Дальнейшее разложение этих множителей на множители с рациональными коэффициентами невозможно.

Ответ: $(4x^2 + 9y^2)(16x^4 - 36x^2y^2 + 81y^4)$