Номер 9.24, страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.21-9.28 упростите выражения.

9.24. $(\frac{a^2 + b^2}{ab} - 2) : (\frac{2a^2 + 2ab}{a^2 + 2ab + b^2} - 1) \cdot (\frac{1}{a+b} + \frac{1}{a-b})$

Для упрощения данного выражения необходимо выполнить действия по порядку, предварительно упростив выражения в каждой из скобок.

1. Упростим выражение в первой скобке:

$\frac{a^2 + b^2}{ab} - 2$

Приводим к общему знаменателю $ab$:

$\frac{a^2 + b^2}{ab} - \frac{2ab}{ab} = \frac{a^2 - 2ab + b^2}{ab}$

Числитель является полным квадратом разности. Применим формулу сокращенного умножения $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$\frac{(a-b)^2}{ab}$

2. Упростим выражение во второй скобке:

$\frac{2a^2 + 2ab}{a^2 + 2ab + b^2} - 1$

В числителе вынесем за скобки общий множитель $2a$, а в знаменателе используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$\frac{2a(a+b)}{(a+b)^2} - 1$

Сокращаем дробь на $(a+b)$ и приводим к общему знаменателю:

$\frac{2a}{a+b} - 1 = \frac{2a}{a+b} - \frac{a+b}{a+b} = \frac{2a - (a+b)}{a+b} = \frac{2a - a - b}{a+b} = \frac{a-b}{a+b}$

3. Упростим выражение в третьей скобке:

$\frac{1}{a+b} + \frac{1}{a-b}$

Приводим дроби к общему знаменателю $(a+b)(a-b)$, который по формуле разности квадратов равен $a^2-b^2$:

$\frac{1 \cdot (a-b)}{(a+b)(a-b)} + \frac{1 \cdot (a+b)}{(a+b)(a-b)} = \frac{a-b+a+b}{a^2-b^2} = \frac{2a}{a^2-b^2}$

4. Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходное. Порядок действий — деление и умножение выполняются последовательно слева направо.

$\left(\frac{(a-b)^2}{ab}\right) : \left(\frac{a-b}{a+b}\right) \cdot \left(\frac{2a}{a^2-b^2}\right)$

Сначала выполняем деление. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную дробь:

$\frac{(a-b)^2}{ab} \cdot \frac{a+b}{a-b}$

Сокращаем общий множитель $(a-b)$:

$\frac{(a-b)(a+b)}{ab}$

Далее выполняем умножение полученного результата на третье выражение:

$\frac{(a-b)(a+b)}{ab} \cdot \frac{2a}{a^2-b^2}$

Раскладываем знаменатель $a^2-b^2$ по формуле разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$\frac{(a-b)(a+b)}{ab} \cdot \frac{2a}{(a-b)(a+b)}$

Сокращаем общие множители в числителе и знаменателе: $\text{a}$, $(a-b)$ и $(a+b)$.

$\frac{\cancel{(a-b)}\cancel{(a+b)}}{\cancel{a} \cdot b} \cdot \frac{2\cancel{a}}{\cancel{(a-b)}\cancel{(a+b)}} = \frac{2}{b}$

Ответ: $\frac{2}{b}$