Номер 9.25, страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.21-9.28 упростите выражения.

9.25. $\frac{a^2 - 3ab + ac + 2b^2 - 2bc}{a^2 - b^2 - c^2 + 2bc}$

9.25. Для упрощения данного выражения необходимо разложить на множители числитель и знаменатель дроби.

Сначала разложим на множители числитель: $ a^2-3ab+ac+2b^2-2bc $.

Сгруппируем слагаемые: $ (a^2-3ab+2b^2)+(ac-2bc) $.

Первую группу $ a^2-3ab+2b^2 $ можно разложить на множители как квадратный трехчлен относительно переменной $ a $. Найдем его корни, решив уравнение $ a^2 - (3b)a + 2b^2 = 0 $. По теореме Виета, $ a_1+a_2 = 3b $ и $ a_1 \cdot a_2 = 2b^2 $. Корни равны $ a_1=b $ и $ a_2=2b $. Тогда разложение имеет вид: $ (a-b)(a-2b) $.

Во второй группе $ ac-2bc $ вынесем за скобки общий множитель $ c $: $ c(a-2b) $.

Теперь выражение для числителя выглядит так: $ (a-b)(a-2b)+c(a-2b) $.

Вынесем общий множитель $ (a-2b) $ за скобки: $ (a-2b)(a-b+c) $.

Теперь разложим на множители знаменатель: $ a^2-b^2-c^2+2bc $.

Сгруппируем слагаемые: $ a^2 - (b^2-2bc+c^2) $.

Выражение в скобках $ b^2-2bc+c^2 $ является формулой квадрата разности: $ (b-c)^2 $.

Знаменатель принимает вид $ a^2 - (b-c)^2 $.

Применим формулу разности квадратов $ x^2-y^2=(x-y)(x+y) $: $ (a-(b-c))(a+(b-c)) = (a-b+c)(a+b-c) $.

Подставим полученные разложения в исходную дробь:

$ \frac{a^2-3ab+ac+2b^2-2bc}{a^2-b^2-c^2+2bc} = \frac{(a-2b)(a-b+c)}{(a-b+c)(a+b-c)} $.

Сократим дробь на общий множитель $ (a-b+c) $, при условии, что $ a-b+c \neq 0 $.

$ \frac{a-2b}{a+b-c} $.

Ответ: $ \frac{a-2b}{a+b-c} $