Номер 9.32, страница 106, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.32. Пусть последовательность $b_1, b_2, ..., b_n, ...$ является геометрической прогрессией со знаменателем $\text{q}$. Докажите справедливость формул

$b_n = b_1 q^{n-1}$, $b_n^2 = b_{n-1} b_{n+1}$, $S_n = \frac{b_1 (1-q^n)}{1-q}$

где $S_n$ — сумма первых $\text{n}$ членов прогрессии.

Пусть дана последовательность $b_1, b_2, ..., b_n, ...$, которая является геометрической прогрессией со знаменателем $\text{q}$. По определению, каждый ее член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на $\text{q}$. То есть, для любого натурального числа $n \ge 2$ выполняется равенство $b_n = b_{n-1} \cdot q$. Докажем справедливость представленных формул.

$b_n = b_1q^{n-1}$

Это формула n-го члена геометрической прогрессии. Докажем ее, используя метод математической индукции.

База индукции: Проверим справедливость формулы для $n=1$.

Подставляем $n=1$ в формулу: $b_1 = b_1q^{1-1} = b_1q^0 = b_1 \cdot 1 = b_1$. Равенство верное.

Предположение индукции: Допустим, что формула верна для некоторого натурального числа $k \ge 1$, то есть $b_k = b_1q^{k-1}$.

Шаг индукции: Докажем, что из этого следует верность формулы для $n=k+1$. Мы должны показать, что $b_{k+1} = b_1q^{(k+1)-1} = b_1q^k$.

Согласно определению геометрической прогрессии, $b_{k+1} = b_k \cdot q$.

Теперь воспользуемся нашим индукционным предположением и подставим выражение для $b_k$:

$b_{k+1} = (b_1q^{k-1}) \cdot q = b_1q^{k-1+1} = b_1q^k$.

Полученное выражение совпадает с тем, что требовалось доказать. Следовательно, по принципу математической индукции, формула верна для всех натуральных чисел $\text{n}$.

Ответ: Справедливость формулы $b_n = b_1q^{n-1}$ доказана.

$b_n^2 = b_{n-1}b_{n+1}$

Это характеристическое свойство геометрической прогрессии, которое утверждает, что для $n \ge 2$ квадрат любого члена прогрессии равен произведению его соседних членов. Для доказательства воспользуемся определением прогрессии.

По определению, мы имеем два равенства: $b_{n+1} = b_n \cdot q$ и $b_n = b_{n-1} \cdot q$.

Из второго равенства выразим $b_{n-1} = \frac{b_n}{q}$. (Это допустимо, так как по определению знаменатель $\text{q}$ не равен нулю).

Теперь перемножим выражения для $b_{n-1}$ и $b_{n+1}$:

$b_{n-1}b_{n+1} = \left(\frac{b_n}{q}\right) \cdot (b_n \cdot q)$.

В правой части равенства множитель $\text{q}$ и делитель $\text{q}$ сокращаются:

$b_{n-1}b_{n+1} = b_n^2$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Справедливость формулы $b_n^2 = b_{n-1}b_{n+1}$ доказана.

$S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$

$S_n$ — это сумма первых $\text{n}$ членов прогрессии. По определению:

$S_n = b_1 + b_2 + b_3 + \dots + b_n$.

Используя формулу n-го члена $b_k = b_1q^{k-1}$, мы можем переписать эту сумму в виде:

$S_n = b_1 + b_1q + b_1q^2 + \dots + b_1q^{n-1}$. (1)

Умножим обе части этого равенства на знаменатель $\text{q}$:

$qS_n = b_1q + b_1q^2 + b_1q^3 + \dots + b_1q^n$. (2)

Теперь вычтем из равенства (1) равенство (2):

$S_n - qS_n = (b_1 + b_1q + b_1q^2 + \dots + b_1q^{n-1}) - (b_1q + b_1q^2 + b_1q^3 + \dots + b_1q^n)$.

В левой части вынесем $S_n$ за скобки. В правой части большинство слагаемых взаимно уничтожаются:

$S_n(1-q) = b_1 - b_1q^n$.

Вынесем $b_1$ за скобки в правой части:

$S_n(1-q) = b_1(1-q^n)$.

Если знаменатель $q \neq 1$, то мы можем разделить обе части уравнения на $(1-q)$:

$S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$.

Данная формула верна при $q \neq 1$. Если же $q=1$, то все члены прогрессии равны $b_1$, и их сумма вычисляется как $S_n = n \cdot b_1$.

Ответ: Справедливость формулы $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$ (при $q \neq 1$) доказана.