Номер 9.39, страница 106, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.39. При каких значениях $\text{a}$ корни уравнений $x^2 - 5x + 4 = 0$ и $2x - a = 0$ являются тремя первыми членами геометрической прогрессии?

Для решения задачи сначала найдем корни каждого из уравнений.

Корни первого уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$ можно найти с помощью дискриминанта или по теореме Виета. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 = 3^2$. Тогда корни равны $x_1 = \frac{5 - 3}{2} = 1$ и $x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4$.

Корень второго уравнения $2x - a = 0$ равен $x_3 = \frac{a}{2}$.

Таким образом, три числа — $\text{1}$, $\text{4}$ и $\frac{a}{2}$ — должны являться тремя первыми членами геометрической прогрессии. Пусть это члены $b_1, b_2, b_3$. Согласно характеристическому свойству геометрической прогрессии, квадрат среднего члена равен произведению двух других: $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$. Необходимо рассмотреть все возможные варианты, какое из трех чисел является средним членом.

Случай 1: Средним членом является $\frac{a}{2}$.

Тогда два других члена — это $\text{1}$ и $\text{4}$. Подставляем в формулу свойства: $(\frac{a}{2})^2 = 1 \cdot 4$ $\frac{a^2}{4} = 4$ $a^2 = 16$ Отсюда $a=4$ или $a=-4$.

Случай 2: Средним членом является $\text{1}$.

Тогда два других члена — это $\text{4}$ и $\frac{a}{2}$. Подставляем в формулу: $1^2 = 4 \cdot \frac{a}{2}$ $1 = 2a$ Отсюда $a = \frac{1}{2}$.

Случай 3: Средним членом является $\text{4}$.

Тогда два других члена — это $\text{1}$ и $\frac{a}{2}$. Подставляем в формулу: $4^2 = 1 \cdot \frac{a}{2}$ $16 = \frac{a}{2}$ Отсюда $a = 32$.

Объединив все найденные значения, мы получаем искомые значения параметра $\text{a}$.

Ответ: $-4; \frac{1}{2}; 4; 32$.