Номер 9.44, страница 107, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.44. Три числа, первое из которых равно 1, являются последовательными членами геометрической прогрессии. Если одно из них удвоить, то эти числа, взятые в том же порядке, образуют арифметическую прогрессию. Найдите эти числа.

Пусть искомые три числа, являющиеся последовательными членами геометрической прогрессии, это $b_1, b_2, b_3$. По условию, первое число $b_1 = 1$. Обозначим знаменатель прогрессии через $\text{q}$. Тогда эти три числа можно записать в виде $1, q, q^2$.

Если одно из этих чисел удвоить, то полученная тройка чисел образует арифметическую прогрессию. Характеристическое свойство арифметической прогрессии для трех членов $a_1, a_2, a_3$ заключается в том, что средний член равен полусумме крайних, то есть $2a_2 = a_1 + a_3$. Рассмотрим три возможных случая.

Получаем числа $2 \cdot 1, q, q^2$, то есть $2, q, q^2$. Для того чтобы они образовывали арифметическую прогрессию, должно выполняться равенство $2q = 2 + q^2$. Перенесем все члены в одну сторону: $q^2 - 2q + 2 = 0$. Дискриминант этого квадратного уравнения $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$. Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, этот случай невозможен.

Получаем числа $1, 2q, q^2$. Для того чтобы они образовывали арифметическую прогрессию, должно выполняться равенство $2 \cdot (2q) = 1 + q^2$. Это приводит к уравнению $4q = 1 + q^2$, или $q^2 - 4q + 1 = 0$. Решим это квадратное уравнение по формуле для корней: $q = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$. Мы получили два возможных значения для знаменателя $\text{q}$. Найдем соответствующие им наборы чисел.

Если $q = 2 + \sqrt{3}$, то исходные числа: $b_1 = 1$, $b_2 = 2 + \sqrt{3}$ и $b_3 = (2 + \sqrt{3})^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3}$. Если $q = 2 - \sqrt{3}$, то исходные числа: $b_1 = 1$, $b_2 = 2 - \sqrt{3}$ и $b_3 = (2 - \sqrt{3})^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}$. Оба набора чисел удовлетворяют условию задачи. Ответ: $1, 2 + \sqrt{3}, 7 + 4\sqrt{3}$ или $1, 2 - \sqrt{3}, 7 - 4\sqrt{3}$.

Получаем числа $1, q, 2q^2$. Для того чтобы они образовывали арифметическую прогрессию, должно выполняться равенство $2q = 1 + 2q^2$. Перепишем это как $2q^2 - 2q + 1 = 0$. Дискриминант этого уравнения $D = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 4 - 8 = -4$. Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Этот случай также не дает решения.