Номер 9.21, страница 104, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.21–9.28 упростите выражения.

9.21. $\left(\frac{x^2 - y^2}{xy} - \frac{1}{x+y}\left(\frac{x^2}{y} - \frac{y^2}{x}\right)\right) : \frac{x-y}{x}.$

9.21. Упростим выражение по действиям.

1. Первым действием выполним вычитание в малых скобках, приведя дроби к общему знаменателю $xy$:

$ \frac{x^2}{y} - \frac{y^2}{x} = \frac{x^2 \cdot x}{y \cdot x} - \frac{y^2 \cdot y}{x \cdot y} = \frac{x^3 - y^3}{xy} $

Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$ \frac{x^3 - y^3}{xy} = \frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{xy} $

2. Теперь выполним действия в больших скобках. Подставим полученный результат:

$ \frac{x^2 - y^2}{xy} - \frac{1}{x+y} \cdot \frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{xy} $

Преобразуем первое слагаемое, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$ \frac{(x-y)(x+y)}{xy} - \frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{xy(x+y)} $

Приведем дроби к общему знаменателю $xy(x+y)$:

$ \frac{(x-y)(x+y)(x+y)}{xy(x+y)} - \frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{xy(x+y)} = \frac{(x-y)(x+y)^2 - (x-y)(x^2+xy+y^2)}{xy(x+y)} $

Вынесем в числителе общий множитель $(x-y)$ за скобки:

$ \frac{(x-y)[(x+y)^2 - (x^2+xy+y^2)]}{xy(x+y)} $

Раскроем квадрат суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$ и упростим выражение в квадратных скобках:

$ (x^2+2xy+y^2) - (x^2+xy+y^2) = x^2+2xy+y^2 - x^2-xy-y^2 = xy $

Подставим полученный результат обратно в дробь:

$ \frac{(x-y)(xy)}{xy(x+y)} $

Сократим на $xy$:

$ \frac{x-y}{x+y} $

3. Выполним последнее действие - деление:

$ \frac{x-y}{x+y} : \frac{x-y}{x} $

Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную дробь:

$ \frac{x-y}{x+y} \cdot \frac{x}{x-y} $

Сократим общий множитель $(x-y)$ в числителе и знаменателе:

$ \frac{x}{x+y} $

Ответ: $ \frac{x}{x+y} $