Номер 9.143, страница 119, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.143. Найдите все корни уравнения $\sqrt{1+\sin2x} = \sqrt{2}\cos3x$, принадлежащие промежутку $\left(\pi; \frac{3\pi}{2}\right)$.

Исходное уравнение: $\sqrt{1 + \sin 2x} = \sqrt{2}\cos 3x$. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем $1 + \sin 2x$ всегда неотрицательно, так как $\sin 2x \ge -1$. Поскольку левая часть уравнения (арифметический квадратный корень) неотрицательна, правая часть также должна быть неотрицательной: $\sqrt{2}\cos 3x \ge 0$, что равносильно $\cos 3x \ge 0$. Рассмотрим заданный промежуток $x \in (\pi; \frac{3\pi}{2})$. Для него $3x \in (3\pi; \frac{9\pi}{2})$. Условие $\cos 3x \ge 0$ на интервале $(3\pi; \frac{9\pi}{2})$ выполняется при $3x \in [\frac{7\pi}{2}; \frac{9\pi}{2}]$. Разделив на 3, получаем $x \in [\frac{7\pi}{6}; \frac{3\pi}{2}]$. Таким образом, мы ищем корни уравнения на промежутке $[\frac{7\pi}{6}; \frac{3\pi}{2})$.

Преобразуем левую часть уравнения, используя основное тригонометрическое тождество и формулу синуса двойного угла: $1 + \sin 2x = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x = (\sin x + \cos x)^2$. Тогда $\sqrt{1 + \sin 2x} = \sqrt{(\sin x + \cos x)^2} = |\sin x + \cos x|$. Уравнение принимает вид: $|\sin x + \cos x| = \sqrt{2}\cos 3x$.

На промежутке $(\pi; \frac{3\pi}{2})$ (третья четверть) и синус, и косинус отрицательны: $\sin x < 0$ и $\cos x < 0$. Следовательно, их сумма $\sin x + \cos x$ также отрицательна. Поэтому $|\sin x + \cos x| = -(\sin x + \cos x)$. Уравнение для данного промежутка упрощается до: $-(\sin x + \cos x) = \sqrt{2}\cos 3x$.

Применим формулу вспомогательного угла: $\sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$. Подставим в уравнение: $-\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}\cos 3x$ $-\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \cos 3x$.

Для решения этого уравнения приведем обе части к функции синуса, используя формулы $\cos A = \sin(\frac{\pi}{2} - A)$ и $-\sin B = \sin(-B)$: $\sin(-x - \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{2} - 3x)$. Равенство синусов выполняется в двух случаях: 1) Аргументы равны (с точностью до периода $2\pi k$): $-x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} - 3x + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. $2x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$ $x = \frac{3\pi}{8} + \pi k$.

2) Сумма аргументов равна $\pi$ (с точностью до периода $2\pi n$): $-x - \frac{\pi}{4} = \pi - (\frac{\pi}{2} - 3x) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. $-x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 3x + 2\pi n$ $-4x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$ $x = -\frac{3\pi}{16} - \frac{\pi n}{2}$.

Теперь отберем корни, принадлежащие промежутку $[\frac{7\pi}{6}; \frac{3\pi}{2})$. Для первой серии корней $x = \frac{3\pi}{8} + \pi k$: $\frac{7\pi}{6} \le \frac{3\pi}{8} + \pi k < \frac{3\pi}{2}$. Разделим на $\pi$: $\frac{7}{6} \le \frac{3}{8} + k < \frac{3}{2}$. $\frac{7}{6} - \frac{3}{8} \le k < \frac{3}{2} - \frac{3}{8}$. $\frac{28 - 9}{24} \le k < \frac{12 - 3}{8}$. $\frac{19}{24} \le k < \frac{9}{8}$. $0.79... \le k < 1.125$. Единственное целое значение в этом интервале – $k=1$. При $k=1$ получаем корень: $x = \frac{3\pi}{8} + \pi = \frac{11\pi}{8}$.

Для второй серии корней $x = -\frac{3\pi}{16} - \frac{\pi n}{2}$: $\frac{7\pi}{6} \le -\frac{3\pi}{16} - \frac{\pi n}{2} < \frac{3\pi}{2}$. Разделим на $\pi$: $\frac{7}{6} \le -\frac{3}{16} - \frac{n}{2} < \frac{3}{2}$. $\frac{7}{6} + \frac{3}{16} \le -\frac{n}{2} < \frac{3}{2} + \frac{3}{16}$. $\frac{56 + 9}{48} \le -\frac{n}{2} < \frac{24 + 3}{16}$. $\frac{65}{48} \le -\frac{n}{2} < \frac{27}{16}$. Умножим на -2, изменив знаки неравенства: $-2 \cdot \frac{27}{16} < n \le -2 \cdot \frac{65}{48}$. $-\frac{27}{8} < n \le -\frac{65}{24}$. $-3.375 < n \le -2.708...$. Единственное целое значение в этом интервале – $n=-3$. При $n=-3$ получаем корень: $x = -\frac{3\pi}{16} - \frac{\pi(-3)}{2} = -\frac{3\pi}{16} + \frac{3\pi}{2} = \frac{-3\pi + 24\pi}{16} = \frac{21\pi}{16}$.

Оба найденных значения, $\frac{11\pi}{8}$ и $\frac{21\pi}{16}$, принадлежат исходному промежутку $(\pi; \frac{3\pi}{2})$.

Ответ: $x = \frac{11\pi}{8}, x = \frac{21\pi}{16}$.