Номер 9.149, страница 120, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.145-9.149 решите уравнения.

9.149. 1) $ \arcsin x = \arccos \sqrt{1-x^2} $;

2) $ \arccos x = \pi - \arcsin \sqrt{1-x^2} $.

1) Решим уравнение $\arcsin x = \arccos\sqrt{1-x^2}$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ).

1. Для функции $\arcsin x$ аргумент $\text{x}$ должен находиться в промежутке: $-1 \le x \le 1$.

2. Для функции $\arccos\sqrt{1-x^2}$ аргумент $\sqrt{1-x^2}$ должен находиться в промежутке: $0 \le \sqrt{1-x^2} \le 1$. Это неравенство эквивалентно системе:

$\begin{cases} 1-x^2 \ge 0 \\ 1-x^2 \le 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x^2 \le 1 \\ x^2 \ge 0 \end{cases} \implies -1 \le x \le 1$.

Таким образом, ОДЗ для всего уравнения: $x \in [-1, 1]$.

Теперь рассмотрим области значений левой и правой частей уравнения.

Область значений функции $\arcsin x$ это $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Область значений функции $\arccos y$ это $[0, \pi]$. Так как аргумент $\sqrt{1-x^2} \ge 0$, то область значений правой части $\arccos\sqrt{1-x^2}$ будет $[0, \frac{\pi}{2}]$.

Для того чтобы равенство выполнялось, значения левой и правой частей должны совпадать. Следовательно, значение $\arcsin x$ должно быть неотрицательным:

$\arcsin x \ge 0$, что выполняется при $x \ge 0$.

С учетом ОДЗ, получаем, что решение нужно искать на промежутке $x \in [0, 1]$.

Пусть $\alpha = \arcsin x$. Тогда по определению $\sin \alpha = x$, и так как $x \in [0, 1]$, то $\alpha \in [0, \frac{\pi}{2}]$.

Подставим $\alpha$ в исходное уравнение:

$\alpha = \arccos\sqrt{1-x^2}$

По определению арккосинуса это означает, что $\cos \alpha = \sqrt{1-x^2}$ и $\alpha \in [0, \frac{\pi}{2}] $.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

Так как $\alpha \in [0, \frac{\pi}{2}]$, то $\cos\alpha \ge 0$, и $\cos\alpha = \sqrt{1-\sin^2\alpha}$.

Подставив $\sin\alpha = x$, получим: $\cos\alpha = \sqrt{1-x^2}$.

Это тождественно совпадает с выражением, полученным из уравнения. Следовательно, исходное уравнение является тождеством для всех $\text{x}$, удовлетворяющих условию $x \in [0, 1]$.

Ответ: $x \in [0, 1]$.

2) Решим уравнение $\arccos x = \pi - \arcsin\sqrt{1-x^2}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения, как и в предыдущем пункте, определяется условиями $-1 \le x \le 1$ и $1-x^2 \ge 0$, что в итоге дает $x \in [-1, 1]$.

Рассмотрим области значений левой и правой частей.

Область значений $\arccos x$ это $[0, \pi]$.

Аргумент $\sqrt{1-x^2}$ принимает значения из отрезка $[0, 1]$. Следовательно, $\arcsin\sqrt{1-x^2}$ принимает значения из отрезка $[0, \frac{\pi}{2}]$.

Тогда правая часть уравнения, $\pi - \arcsin\sqrt{1-x^2}$, принимает значения из отрезка $[\pi - \frac{\pi}{2}, \pi - 0]$, то есть $[\frac{\pi}{2}, \pi]$.

Для выполнения равенства необходимо, чтобы значение левой части также принадлежало этому отрезку:

$\arccos x \in [\frac{\pi}{2}, \pi]$.

Это условие выполняется при $x \in [-1, 0]$.

Будем искать решение на отрезке $x \in [-1, 0]$.

Пусть $\beta = \arccos x$. Тогда по определению $\cos \beta = x$, и так как $x \in [-1, 0]$, то $\beta \in [\frac{\pi}{2}, \pi]$.

Преобразуем исходное уравнение:

$\arccos x + \arcsin\sqrt{1-x^2} = \pi$

Подставим $\beta$:

$\beta + \arcsin\sqrt{1-x^2} = \pi$

$\arcsin\sqrt{1-x^2} = \pi - \beta$

По определению арксинуса это означает, что $\sin(\pi-\beta) = \sqrt{1-x^2}$.

Используя формулу приведения, получаем $\sin\beta = \sqrt{1-x^2}$.

Теперь проверим, верно ли это равенство. Из основного тригонометрического тождества $\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$.

Так как $\beta \in [\frac{\pi}{2}, \pi]$, то $\sin\beta \ge 0$, следовательно, $\sin\beta = \sqrt{1-\cos^2\beta}$.

Подставив $\cos\beta = x$, получаем: $\sin\beta = \sqrt{1-x^2}$.

Это равенство совпадает с тем, что мы получили из уравнения. Значит, исходное уравнение является тождеством для всех $\text{x}$, удовлетворяющих условию $x \in [-1, 0]$.

Ответ: $x \in [-1, 0]$.