Номер 9.145, страница 120, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.145-9.149 решите уравнения.

9.145. 1) $ \arcsin\left(\frac{x}{2}-3\right) = \frac{\pi}{3} $;

2) $ \arccos(1-2x) = \frac{\pi}{2} $;

3) $ \operatorname{arctg}(2-3x) = -\frac{\pi}{4} $;

4) $ \operatorname{arcctg}(3x+2) = \frac{\pi}{4} $.

1) Решим уравнение $arcsin(\frac{x}{2} - 3) = \frac{\pi}{3}$.

По определению арксинуса, если $arcsin(a)=b$, то $sin(b)=a$. При этом аргумент $\text{a}$ должен принадлежать отрезку $[-1; 1]$.

Применим это определение к нашему уравнению:

$\frac{x}{2} - 3 = sin(\frac{\pi}{3})$.

Значение синуса угла $\frac{\pi}{3}$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$\frac{x}{2} - 3 = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Выразим $\text{x}$ из этого уравнения:

$\frac{x}{2} = 3 + \frac{\sqrt{3}}{2}$

$x = 2 \cdot (3 + \frac{\sqrt{3}}{2})$

$x = 6 + \sqrt{3}$.

Необходимо также проверить, что аргумент арксинуса $\frac{x}{2} - 3$ находится в допустимом диапазоне $[-1; 1]$. Подставим найденное значение $\text{x}$ в выражение для аргумента: $\frac{6+\sqrt{3}}{2} - 3 = 3 + \frac{\sqrt{3}}{2} - 3 = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Так как $\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$, это значение принадлежит отрезку $[-1; 1]$.

Ответ: $6 + \sqrt{3}$.

2) Решим уравнение $arccos(1 - 2x) = \frac{\pi}{2}$.

По определению арккосинуса, если $arccos(a)=b$, то $cos(b)=a$. При этом аргумент $\text{a}$ должен принадлежать отрезку $[-1; 1]$.

Применим это определение:

$1 - 2x = cos(\frac{\pi}{2})$.

Значение косинуса угла $\frac{\pi}{2}$ равно $\text{0}$.

$1 - 2x = 0$.

Решим это уравнение:

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2}$.

Проверим, что аргумент $1 - 2x$ находится в отрезке $[-1; 1]$. Подставим $x = \frac{1}{2}$: $1 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 - 1 = 0$. Значение $\text{0}$ принадлежит отрезку $[-1; 1]$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

3) Решим уравнение $arctg(2 - 3x) = -\frac{\pi}{4}$.

По определению арктангенса, если $arctg(a)=b$, то $tg(b)=a$. Область определения арктангенса — все действительные числа $(-\infty; +\infty)$, поэтому проверка для аргумента не требуется.

Применим определение:

$2 - 3x = tg(-\frac{\pi}{4})$.

Значение тангенса угла $-\frac{\pi}{4}$ равно $-1$.

$2 - 3x = -1$.

Решим это уравнение:

$3x = 2 - (-1)$

$3x = 3$

$x = 1$.

Ответ: $\text{1}$.

4) Решим уравнение $arcctg(3x + 2) = \frac{\pi}{4}$.

По определению арккотангенса, если $arcctg(a)=b$, то $ctg(b)=a$. Область определения арккотангенса — все действительные числа $(-\infty; +\infty)$, поэтому проверка для аргумента не требуется.

Применим определение:

$3x + 2 = ctg(\frac{\pi}{4})$.

Значение котангенса угла $\frac{\pi}{4}$ равно $\text{1}$.

$3x + 2 = 1$.

Решим это уравнение:

$3x = 1 - 2$

$3x = -1$

$x = -\frac{1}{3}$.

Ответ: $-\frac{1}{3}$.