Номер 9.213, страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9.213. Найдите экстремумы функций из упражнения 9.210.

9.210. Найдите промежутки убывания функции:

1) $y=\frac{x}{2}+\frac{2}{x}$;

2) $y=4x-\frac{x^3}{3}$;

3) $y=\frac{1+\ln x}{x}$.

1) $y = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}$

1. Область определения функции: $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

2. Найдем производную функции:

$y' = (\frac{x}{2} + \frac{2}{x})' = \frac{1}{2} - \frac{2}{x^2} = \frac{x^2 - 4}{2x^2}$.

3. Найдем критические точки. Для этого приравняем производную к нулю:

$y' = 0 \Rightarrow \frac{x^2 - 4}{2x^2} = 0$.

Поскольку $x \neq 0$, то $x^2 - 4 = 0$, откуда $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.

Точка $x=0$ также является точкой, где производная не определена, и она разбивает область определения.

4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки и точки разрыва делят область определения: $(-\infty, -2)$, $(-2, 0)$, $(0, 2)$, $(2, +\infty)$.

- При $x \in (-\infty, -2)$, например $x=-3$, $y'(-3) = \frac{(-3)^2-4}{2(-3)^2} = \frac{5}{18} > 0$, функция возрастает.

- При $x \in (-2, 0)$, например $x=-1$, $y'(-1) = \frac{(-1)^2-4}{2(-1)^2} = \frac{-3}{2} < 0$, функция убывает.

- При $x \in (0, 2)$, например $x=1$, $y'(1) = \frac{1^2-4}{2(1)^2} = \frac{-3}{2} < 0$, функция убывает.

- При $x \in (2, +\infty)$, например $x=3$, $y'(3) = \frac{3^2-4}{2(3)^2} = \frac{5}{18} > 0$, функция возрастает.

Промежутки убывания функции (ответ на упр. 9.210): $[-2, 0)$ и $(0, 2]$.

5. Найдем экстремумы функции (ответ на упр. 9.213).

В точке $x = -2$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка локального максимума.

$y_{max} = y(-2) = \frac{-2}{2} + \frac{2}{-2} = -1 - 1 = -2$.

В точке $x = 2$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка локального минимума.

$y_{min} = y(2) = \frac{2}{2} + \frac{2}{2} = 1 + 1 = 2$.

Ответ: Промежутки убывания: $[-2, 0)$ и $(0, 2]$. Экстремумы: точка максимума $x_{max} = -2$, $y_{max} = -2$; точка минимума $x_{min} = 2$, $y_{min} = 2$.

2) $y = 4x - \frac{x^3}{3}$

1. Область определения функции: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Найдем производную функции:

$y' = (4x - \frac{x^3}{3})' = 4 - \frac{3x^2}{3} = 4 - x^2$.

3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$y' = 0 \Rightarrow 4 - x^2 = 0$, откуда $x^2 = 4$.

Критические точки: $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty, -2)$, $(-2, 2)$, $(2, +\infty)$.

- При $x \in (-\infty, -2)$, например $x=-3$, $y'(-3) = 4 - (-3)^2 = 4 - 9 = -5 < 0$, функция убывает.

- При $x \in (-2, 2)$, например $x=0$, $y'(0) = 4 - 0^2 = 4 > 0$, функция возрастает.

- При $x \in (2, +\infty)$, например $x=3$, $y'(3) = 4 - 3^2 = 4 - 9 = -5 < 0$, функция убывает.

Промежутки убывания функции (ответ на упр. 9.210): $(-\infty, -2]$ и $[2, +\infty)$.

5. Найдем экстремумы функции (ответ на упр. 9.213).

В точке $x = -2$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка локального минимума.

$y_{min} = y(-2) = 4(-2) - \frac{(-2)^3}{3} = -8 - \frac{-8}{3} = -8 + \frac{8}{3} = -\frac{16}{3}$.

В точке $x = 2$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка локального максимума.

$y_{max} = y(2) = 4(2) - \frac{2^3}{3} = 8 - \frac{8}{3} = \frac{16}{3}$.

Ответ: Промежутки убывания: $(-\infty, -2]$ и $[2, +\infty)$. Экстремумы: точка минимума $x_{min} = -2$, $y_{min} = -\frac{16}{3}$; точка максимума $x_{max} = 2$, $y_{max} = \frac{16}{3}$.

3) $y = \frac{1 + \ln x}{x}$

1. Область определения функции: $x > 0$, т.е. $D(y) = (0, +\infty)$.

2. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного:

$y' = (\frac{1 + \ln x}{x})' = \frac{(1 + \ln x)' \cdot x - (1 + \ln x) \cdot (x)'}{x^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - (1 + \ln x) \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - 1 - \ln x}{x^2} = -\frac{\ln x}{x^2}$.

3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$y' = 0 \Rightarrow -\frac{\ln x}{x^2} = 0$.

Поскольку $x \in (0, +\infty)$, то $x^2 \neq 0$. Следовательно, $\ln x = 0$, откуда $x = 1$.

Это единственная критическая точка.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$. Знак производной определяется знаком числителя $-\ln x$.

- При $x \in (0, 1)$, $\ln x < 0$, поэтому $-\ln x > 0$. Следовательно, $y' > 0$ и функция возрастает.

- При $x \in (1, +\infty)$, $\ln x > 0$, поэтому $-\ln x < 0$. Следовательно, $y' < 0$ и функция убывает.

Промежуток убывания функции (ответ на упр. 9.210): $[1, +\infty)$.

5. Найдем экстремумы функции (ответ на упр. 9.213).

В точке $x = 1$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка локального максимума.

$y_{max} = y(1) = \frac{1 + \ln 1}{1} = \frac{1 + 0}{1} = 1$.

Точек минимума у функции нет.

Ответ: Промежуток убывания: $[1, +\infty)$. Экстремум: точка максимума $x_{max} = 1$, $y_{max} = 1$.