Номер 9.230, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.230–9.232 вычислите интегралы.

9.230. 1) $\int_{0}^{2}(x^3 - 12x + 3)dx$;

2) $\int_{1}^{2}\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right)dx$;

3) $\int_{1}^{4}\frac{dx}{\sqrt{x}};$

4) $\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{4 - x^2}}$.

1) Чтобы вычислить интеграл $\int_{0}^{2} (x^3 - 12x + 3) dx$, найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = x^3 - 12x + 3$. Используя правило интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$, получаем: $F(x) = \int (x^3 - 12x + 3)dx = \frac{x^4}{4} - 12\frac{x^2}{2} + 3x = \frac{x^4}{4} - 6x^2 + 3x$. Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$: $\int_{0}^{2} (x^3 - 12x + 3)dx = \left. \left( \frac{x^4}{4} - 6x^2 + 3x \right) \right|_0^2 = \left( \frac{2^4}{4} - 6 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2 \right) - \left( \frac{0^4}{4} - 6 \cdot 0^2 + 3 \cdot 0 \right) = \left( \frac{16}{4} - 24 + 6 \right) - 0 = 4 - 24 + 6 = -14$.

Ответ: -14

2) Вычислим интеграл $\int_{1}^{2} (x^2 + \frac{1}{x^2}) dx$. Представим подынтегральную функцию в виде $f(x) = x^2 + x^{-2}$. Найдем первообразную, используя правило интегрирования степенной функции: $F(x) = \int (x^2 + x^{-2})dx = \frac{x^3}{3} + \frac{x^{-1}}{-1} = \frac{x^3}{3} - \frac{1}{x}$. Применим формулу Ньютона-Лейбница: $\int_{1}^{2} (x^2 + \frac{1}{x^2})dx = \left. \left( \frac{x^3}{3} - \frac{1}{x} \right) \right|_1^2 = \left( \frac{2^3}{3} - \frac{1}{2} \right) - \left( \frac{1^3}{3} - \frac{1}{1} \right) = \left( \frac{8}{3} - \frac{1}{2} \right) - \left( \frac{1}{3} - 1 \right) = \frac{8}{3} - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + 1 = \left(\frac{8}{3} - \frac{1}{3}\right) + \left(1 - \frac{1}{2}\right) = \frac{7}{3} + \frac{1}{2} = \frac{14}{6} + \frac{3}{6} = \frac{17}{6}$.

Ответ: $\frac{17}{6}$

3) Вычислим интеграл $\int_{1}^{4} \frac{dx}{\sqrt{x}}$. Перепишем подынтегральную функцию как $f(x) = x^{-1/2}$. Найдем первообразную: $F(x) = \int x^{-1/2}dx = \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} = \frac{x^{1/2}}{1/2} = 2x^{1/2} = 2\sqrt{x}$. Применим формулу Ньютона-Лейбница: $\int_{1}^{4} \frac{dx}{\sqrt{x}} = \left. \left( 2\sqrt{x} \right) \right|_1^4 = 2\sqrt{4} - 2\sqrt{1} = 2 \cdot 2 - 2 \cdot 1 = 4 - 2 = 2$.

Ответ: 2

4) Вычислим интеграл $\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{4-x^2}}$. Этот интеграл является табличным. Он соответствует виду $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C$. В нашем случае $a^2 = 4$, следовательно $a=2$. Первообразная имеет вид: $F(x) = \arcsin\left(\frac{x}{2}\right)$. Применим формулу Ньютона-Лейбница: $\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{4-x^2}} = \left. \arcsin\left(\frac{x}{2}\right) \right|_0^1 = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) - \arcsin\left(\frac{0}{2}\right) = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) - \arcsin(0)$. Значение $\arcsin\left(\frac{1}{2}\right)$ равно $\frac{\pi}{6}$, а $\arcsin(0)$ равно $\text{0}$. Таким образом, $\frac{\pi}{6} - 0 = \frac{\pi}{6}$.

Ответ: $\frac{\pi}{6}$