Номер 9.235, страница 129, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.233-9.243 найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной данными линиями, и выполните соответствующий чертеж.

9.235. $f(x) = \frac{2}{x}, x = 1, x = 4, y = 0.$

9.235. Требуется найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями $f(x) = \frac{2}{x}$, $x = 1$, $x = 4$ и $y = 0$.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке $[a, b]$ функции $y=f(x)$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле определенного интеграла: $S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$

В данном случае $f(x) = \frac{2}{x}$, $a = 1$, $b = 4$. Функция $f(x)$ на отрезке $[1, 4]$ непрерывна и положительна. Подставляем данные в формулу: $S = \int_{1}^{4} \frac{2}{x} \,dx$

Для вычисления интеграла найдем первообразную функции $f(x) = \frac{2}{x}$. Первообразной для $\frac{1}{x}$ является $\ln|x|$, следовательно, первообразная для $f(x)$ равна $F(x) = 2\ln|x|$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница: $S = F(b) - F(a)$. $S = \left. 2\ln|x| \right|_{1}^{4} = 2\ln|4| - 2\ln|1|$

Поскольку $\text{x}$ находится в промежутке $[1, 4]$, $x > 0$, и знак модуля можно опустить. Учитывая, что $\ln(1) = 0$, получаем: $S = 2\ln(4) - 2\ln(1) = 2\ln(4) - 2 \cdot 0 = 2\ln(4)$.

Этот результат можно представить в других формах, используя свойства логарифмов: $S = 2\ln(4) = \ln(4^2) = \ln(16)$ или $S = 2\ln(2^2) = 4\ln(2)$.

Чертеж:

В декартовой системе координат Oxy строится график функции $y = \frac{2}{x}$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Мы рассматриваем ветвь в I четверти, поскольку $x \in [1, 4]$. Криволинейная трапеция — это фигура, ограниченная сверху дугой гиперболы $y = \frac{2}{x}$ (от точки $(1, 2)$ до точки $(4, 0.5)$), снизу — отрезком оси Ox ($y=0$) от $x=1$ до $x=4$, слева — вертикальной прямой $x=1$, и справа — вертикальной прямой $x=4$.

Ответ: $2\ln(4)$ кв. ед.