Номер 9.238, страница 129, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В упражнениях 9.233–9.243 найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной данными линиями, и выполните соответствующий чертеж.

9.238. $f(x) = e^x$, $x = 0$, $x = \ln4$, $y = 0$.

Решение

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке $[a, b]$ функции $y = f(x)$, осью абсцисс $y = 0$ и прямыми $x = a$ и $x = b$, вычисляется по формуле определенного интеграла:

$S = \int_a^b f(x) \,dx$

В данной задаче криволинейная трапеция ограничена следующими линиями: графиком функции $f(x) = e^x$, осью $y = 0$ (ось Ox), и вертикальными прямыми $x = 0$ и $x = \ln4$.

Таким образом, пределы интегрирования $a = 0$ и $b = \ln4$. Функция $f(x) = e^x$ всегда положительна, в том числе и на отрезке $[0, \ln4]$.

Подставляем данные в формулу и вычисляем интеграл:

$S = \int_0^{\ln4} e^x \,dx$

Первообразной для функции $f(x) = e^x$ является сама функция $F(x) = e^x$. Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$S = [e^x]_0^{\ln4} = e^{\ln4} - e^0$

Используя основное логарифмическое тождество $e^{\ln a} = a$ и свойство степени $e^0 = 1$, получаем:

$S = 4 - 1 = 3$

Площадь криволинейной трапеции равна 3 квадратным единицам.

Ответ: 3

Чертеж

На чертеже изображена криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции $y=e^x$ (синяя кривая), осью $\text{x}$ ($y=0$) и вертикальными прямыми $x=0$ (ось $\text{y}$) и $x=\ln4$. Искомая площадь заштрихована.