Номер 2, страница 10 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

2. Какими уравнениями и параметрами (величинами) характеризуются гармонические колебания? Каковы их графики?

Гармонические колебания — это колебания, при которых физическая величина (например, смещение, напряжение, ток) изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса. Они являются простейшим и наиболее важным типом колебательных процессов.

Гармонические колебания описываются несколькими ключевыми уравнениями и параметрами.

1. Кинематическое уравнение колебаний:

Основное уравнение, описывающее зависимость смещения $x$ от времени $t$:

$x(t) = A \cdot \cos(\omega t + \phi_0)$

или эквивалентное ему:

$x(t) = A \cdot \sin(\omega t + \phi_0')$

Здесь $A$, $\omega$ и $\phi_0$ — основные параметры (величины), характеризующие колебание:

• $x(t)$ — смещение, или отклонение колеблющейся величины от положения равновесия в момент времени $t$.
• $A$ — амплитуда колебаний. Это максимальное значение смещения от положения равновесия. Измеряется в единицах колеблющейся величины (например, в метрах для механических колебаний).
• $\omega$ — циклическая (или угловая) частота. Показывает, сколько полных колебаний совершается за $2\pi$ единиц времени. Измеряется в радианах в секунду (рад/с). Связана с периодом и частотой.
• $\phi = (\omega t + \phi_0)$ — фаза колебаний. Определяет состояние колебательной системы (ее смещение и направление движения) в любой момент времени $t$. Измеряется в радианах.
• $\phi_0$ — начальная фаза. Это значение фазы в начальный момент времени ($t=0$). Определяет начальное состояние системы. Измеряется в радианах.

С циклической частотой связаны другие важные параметры:

• Период колебаний ($T$) — время одного полного колебания. $T = \frac{2\pi}{\omega}$. Измеряется в секундах (с).
• Частота колебаний ($\nu$) — число полных колебаний в единицу времени. $\nu = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}$. Измеряется в герцах (Гц).

2. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний:

С точки зрения динамики, гармонические колебания являются решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка:

$\ddot{x} + \omega^2 x = 0$

где $\ddot{x}$ — вторая производная смещения по времени (ускорение), а $\omega^2$ — положительный коэффициент, зависящий от свойств системы (например, для пружинного маятника $\omega^2 = k/m$, где $k$ — жесткость пружины, $m$ — масса груза). Это уравнение показывает, что ускорение тела прямо пропорционально его смещению и направлено в сторону, противоположную смещению (к положению равновесия).

Ответ: Гармонические колебания характеризуются кинематическим уравнением $x(t) = A \cdot \cos(\omega t + \phi_0)$ и дифференциальным уравнением $\ddot{x} + \omega^2 x = 0$. Основными параметрами являются: амплитуда ($A$), циклическая частота ($\omega$), начальная фаза ($\phi_0$), а также связанные с ними период ($T$) и частота ($\nu$).

Графики гармонических колебаний представляют собой синусоиды — кривые, имеющие форму синуса или косинуса.

1. График смещения от времени ($x$ от $t$):

График зависимости $x(t) = A \cdot \cos(\omega t + \phi_0)$ — это косинусоида. Его вид определяется параметрами колебаний:

• Амплитуда $A$ определяет максимальное и минимальное значения на графике. Кривая колеблется в пределах от $-A$ до $+A$.
• Период $T$ виден на графике как расстояние по оси времени между двумя соседними пиками (или любыми другими одинаковыми точками) кривой.
• Начальная фаза $\phi_0$ определяет сдвиг графика по горизонтали. Если $\phi_0 = 0$, то в момент $t=0$ смещение максимально ($x(0)=A$), и это "чистая" косинусоида. Если $\phi_0 = -\pi/2$, то в момент $t=0$ смещение равно нулю и растет, что соответствует синусоиде $x(t) = A \cdot \sin(\omega t)$.

2. Графики скорости и ускорения:

Скорость $v(t)$ и ускорение $a(t)$ при гармонических колебаниях также изменяются по гармоническому закону:

• Скорость: $v(t) = \ddot{x}(t) = -A\omega \cdot \sin(\omega t + \phi_0)$. График скорости — это тоже синусоида, но её фаза опережает фазу смещения на $\pi/2$. Амплитуда скорости равна $v_{max} = A\omega$.
• Ускорение: $a(t) = \ddot{x}(t) = -A\omega^2 \cdot \cos(\omega t + \phi_0) = -\omega^2 x(t)$. График ускорения — синусоида, находящаяся в противофазе со смещением (сдвиг фазы равен $\pi$). Амплитуда ускорения равна $a_{max} = A\omega^2$.

Таким образом, все графики — смещения, скорости и ускорения — являются синусоидальными кривыми, сдвинутыми друг относительно друга по фазе.

Ответ: Графики гармонических колебаний (зависимости смещения, скорости и ускорения от времени) представляют собой синусоидальные кривые (синусоиды или косинусоиды), параметры которых (амплитуда, период, сдвиг) определяются параметрами колебаний.