Номер 1.1.2, страница 11 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

1.1.2. Точка совершает гармонические колебания по закону $x = A \sin \omega t$. При этом амплитуда колебаний равна 5 см, частота $2 \text{ с}^{-1}$, начальная фаза колебаний равна 0. Определите максимальную скорость точки. (Ответ: 0,628 м/с.)

Дано:

$x(t) = A \sin(\omega t)$

$A = 5 \text{ см}$

$\nu = 2 \text{ с}^{-1}$

$\phi_0 = 0$

$A = 0.05 \text{ м}$

$\nu = 2 \text{ Гц}$

Найти:

$v_{max}$

Решение:

Уравнение гармонических колебаний точки задано в виде $x(t) = A \sin(\omega t)$, где $x$ - смещение точки от положения равновесия, $A$ - амплитуда колебаний, $\omega$ - циклическая (угловая) частота, $t$ - время.

Скорость точки $v(t)$ является первой производной от координаты $x(t)$ по времени:

$v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}(A \sin(\omega t))$

При дифференцировании получаем:

$v(t) = A \omega \cos(\omega t)$

Максимальная скорость $v_{max}$ достигается в моменты времени, когда значение функции $\cos(\omega t)$ максимально, то есть равно 1. Таким образом, амплитудное значение скорости равно:

$v_{max} = A \omega$

Циклическая частота $\omega$ связана с линейной частотой $\nu$ (которая дана в условии) следующим соотношением:

$\omega = 2 \pi \nu$

Подставим это выражение в формулу для максимальной скорости:

$v_{max} = A \cdot (2 \pi \nu) = 2 \pi \nu A$

Теперь подставим числовые значения из условия, переведенные в систему СИ:

$A = 0.05 \text{ м}$

$\nu = 2 \text{ Гц}$ (или $2 \text{ с}^{-1}$)

Выполним вычисления, используя значение $\pi \approx 3.14$:

$v_{max} = 2 \cdot 3.14 \cdot 2 \text{ Гц} \cdot 0.05 \text{ м} = 0.628 \text{ м/с}$

Ответ: максимальная скорость точки равна $0.628 \text{ м/с}$.