Номер 1.1.5, страница 12 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

1.1.5. Пружинный маятник совершает колебания с амплитудой 10 см. Масса тела равна 1 кг, коэффициент жесткости пружины равен 400 Н/м. Определите максимальную скорость тела. (Ответ: 2 м/с.)

Дано:

Амплитуда, $A = 10 \text{ см}$

Масса тела, $m = 1 \text{ кг}$

Коэффициент жесткости пружины, $k = 400 \text{ Н/м}$

Перевод в систему СИ:

$A = 10 \text{ см} = 0,1 \text{ м}$

Найти:

Максимальную скорость тела $v_{max}$.

Решение:

При колебаниях пружинного маятника полная механическая энергия сохраняется (если пренебречь потерями). Полная энергия системы $E$ равна сумме кинетической энергии тела $E_k$ и потенциальной энергии пружины $E_p$.

$E = E_k + E_p = \frac{mv^2}{2} + \frac{kx^2}{2}$

Максимальная скорость достигается в момент прохождения телом положения равновесия ($x=0$). В этой точке потенциальная энергия пружины равна нулю, а вся энергия маятника является кинетической:

$E = E_{k_{max}} = \frac{mv_{max}^2}{2}$

В точках максимального отклонения от положения равновесия (когда смещение равно амплитуде, $x=A$), тело на мгновение останавливается ($v=0$). В этих точках вся энергия маятника является потенциальной:

$E = E_{p_{max}} = \frac{kA^2}{2}$

Согласно закону сохранения энергии, максимальная кинетическая энергия равна максимальной потенциальной энергии:

$\frac{mv_{max}^2}{2} = \frac{kA^2}{2}$

Умножим обе части на 2 и выразим $v_{max}$:

$mv_{max}^2 = kA^2$

$v_{max}^2 = \frac{kA^2}{m}$

$v_{max} = \sqrt{\frac{kA^2}{m}} = A \sqrt{\frac{k}{m}}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$v_{max} = 0,1 \text{ м} \cdot \sqrt{\frac{400 \text{ Н/м}}{1 \text{ кг}}} = 0,1 \cdot \sqrt{400} \text{ м/с} = 0,1 \cdot 20 \text{ м/с} = 2 \text{ м/с}$

Ответ: максимальная скорость тела равна $2 \text{ м/с}$.