Номер 1.1.6, страница 12 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

1.1.6. Если длину нити математического маятника увеличить на 30 см, то период колебаний увеличится в 2 раза. Определите первоначальную длину нити.(Ответ: 10 см.)

Дано:

Увеличение длины нити, $\Delta l = 30$ см

Отношение периодов, $\frac{T_2}{T_1} = 2$

Перевод в систему СИ:

$\Delta l = 0.3$ м

Найти:

$l_1$ — первоначальная длина нити.

Решение:

Период колебаний математического маятника $T$ определяется формулой:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

где $l$ — длина нити, а $g$ — ускорение свободного падения.

Запишем выражение для периода $T_1$ при первоначальной длине нити $l_1$:

$T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}}$

После увеличения длины нити на $\Delta l$, новая длина $l_2$ становится равной $l_1 + \Delta l$. Соответствующий ей период $T_2$ равен:

$T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{l_2}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{l_1 + \Delta l}{g}}$

Из условия задачи известно, что $T_2 = 2T_1$. Подставим в это соотношение выражения для периодов:

$2\pi\sqrt{\frac{l_1 + \Delta l}{g}} = 2 \cdot \left(2\pi\sqrt{\frac{l_1}{g}}\right)$

Разделим обе части уравнения на $2\pi$ и сократим $\sqrt{g}$ в знаменателях:

$\sqrt{l_1 + \Delta l} = 2\sqrt{l_1}$

Чтобы избавиться от квадратных корней, возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{l_1 + \Delta l})^2 = (2\sqrt{l_1})^2$

$l_1 + \Delta l = 4l_1$

Теперь решим полученное уравнение относительно $l_1$:

$4l_1 - l_1 = \Delta l$

$3l_1 = \Delta l$

$l_1 = \frac{\Delta l}{3}$

Подставим в формулу значение $\Delta l$ из системы СИ:

$l_1 = \frac{0.3 \text{ м}}{3} = 0.1 \text{ м}$

Переведем результат в сантиметры: $0.1 \text{ м} = 10 \text{ см}$.

Ответ: первоначальная длина нити равна 10 см.