Номер 1.1.4, страница 12 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

1.1.4. Точка совершает гармонические колебания по закону $x = A \sin \omega t$. В некоторый момент времени смещение точки равно 5 см. При увеличении фазы колебаний вдвое смещение стало равным 8 см. Определите амплитуду колебаний. Учтем, что $\arccos 0,8 = 0,64$ и $\sin 0,64 = 0,6$. (Ответ: 8,3 см.)

Дано:

Закон колебаний: $x = A \sin(\phi)$, где $\phi = \omega t$
Смещение $x_1 = 5$ см при фазе $\phi_1$
Смещение $x_2 = 8$ см при фазе $\phi_2 = 2\phi_1$

$x_1 = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$
$x_2 = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Найти:

Амплитуду колебаний $A$.

Решение:

Запишем уравнения для двух состояний системы, используя закон гармонических колебаний $x = A \sin(\phi)$.

1. В первый момент времени смещение $x_1$ при фазе $\phi_1$:
$x_1 = A \sin(\phi_1)$
$0.05 = A \sin(\phi_1)$ (1)

2. При удвоенной фазе $\phi_2 = 2\phi_1$ смещение становится $x_2$:
$x_2 = A \sin(2\phi_1)$
$0.08 = A \sin(2\phi_1)$ (2)

Воспользуемся тригонометрической формулой синуса двойного угла: $\sin(2\phi_1) = 2 \sin(\phi_1) \cos(\phi_1)$. Подставим ее в уравнение (2):
$0.08 = A \cdot (2 \sin(\phi_1) \cos(\phi_1)) = 2 \cdot (A \sin(\phi_1)) \cdot \cos(\phi_1)$

Теперь подставим в полученное выражение значение $A \sin(\phi_1)$ из уравнения (1):
$0.08 = 2 \cdot (0.05) \cdot \cos(\phi_1)$
$0.08 = 0.1 \cdot \cos(\phi_1)$

Отсюда можем найти значение косинуса фазы в первый момент времени:
$\cos(\phi_1) = \frac{0.08}{0.1} = 0.8$

Чтобы найти амплитуду $A$ из уравнения (1), нам необходимо определить $\sin(\phi_1)$. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\phi_1) + \cos^2(\phi_1) = 1$:
$\sin^2(\phi_1) = 1 - \cos^2(\phi_1) = 1 - (0.8)^2 = 1 - 0.64 = 0.36$
$\sin(\phi_1) = \sqrt{0.36} = 0.6$
(Мы выбираем положительный корень, так как начальное смещение $x_1 > 0$, что обычно соответствует фазе в первой или второй четверти, где синус положителен. Приведенные в условии значения $\arccos(0.8) \approx 0.64$ и $\sin(0.64) \approx 0.6$ подтверждают этот расчет).

Наконец, подставляем значение $\sin(\phi_1)$ в уравнение (1) для нахождения амплитуды $A$:
$A = \frac{x_1}{\sin(\phi_1)} = \frac{0.05}{0.6} = \frac{5/100}{6/10} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}$ м.

Переведем результат в сантиметры для сопоставления с ответом в задаче:
$A = \frac{1}{12} \text{ м} \approx 0.0833 \text{ м} = 8.33$ см.
Округляя до одного знака после запятой, получаем $8.3$ см.

Ответ: амплитуда колебаний составляет приблизительно 8,3 см.