Номер 1, страница 10 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

1. Определите неизвестную массу тела $m_1$, имея секундомер, пружину и другое тело известной массы $m_2$.

1. Дано:

Пружина с неизвестной жесткостью $k$
Секундомер
Тело известной массы $m_2$
Тело неизвестной массы $m_1$

Найти:

Неизвестную массу $m_1$.

Решение:

Для определения неизвестной массы можно использовать метод, основанный на измерении периода колебаний пружинного маятника. Период свободных колебаний груза, подвешенного на пружине, определяется по формуле: $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ где $T$ – период колебаний, $m$ – масса груза, $k$ – жесткость пружины.
Поскольку жесткость пружины $k$ нам неизвестна, мы можем исключить ее, проведя два эксперимента: один с телом известной массы, а другой — с телом неизвестной массы.

Эксперимент 1:
Подвесим к пружине тело известной массы $m_2$. Приведем систему в колебательное движение (например, слегка оттянув груз вниз и отпустив). С помощью секундомера измерим время $t_2$, за которое маятник совершит $N$ полных колебаний (для повышения точности рекомендуется брать достаточно большое число колебаний, например, $N=20-30$).
Период колебаний в этом случае будет равен: $T_2 = \frac{t_2}{N}$ С другой стороны, согласно формуле периода: $T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{m_2}{k}}$

Эксперимент 2:
Заменим тело массы $m_2$ на тело неизвестной массы $m_1$. Повторим измерения: измерим время $t_1$, за которое маятник совершит то же самое число $N$ полных колебаний.
Период колебаний для тела неизвестной массы будет: $T_1 = \frac{t_1}{N}$ И соответственно: $T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{m_1}{k}}$

Вывод расчетной формулы:
Теперь у нас есть система из двух уравнений: 1. $T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{m_1}{k}}$
2. $T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{m_2}{k}}$
Разделим первое уравнение на второе: $\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi\sqrt{\frac{m_1}{k}}}{2\pi\sqrt{\frac{m_2}{k}}} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: $\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2 = \frac{m_1}{m_2}$
Выразим отсюда искомую массу $m_1$: $m_1 = m_2 \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2$
Подставим в эту формулу выражения для периодов через измеренные времена $t_1$, $t_2$ и число колебаний $N$: $m_1 = m_2 \left(\frac{t_1/N}{t_2/N}\right)^2 = m_2 \left(\frac{t_1}{t_2}\right)^2$
Эта формула является итоговой для расчета неизвестной массы.

Алгоритм действий:
1. Закрепить пружину в вертикальном положении.
2. Подвесить к ней тело известной массы $m_2$.
3. Вызвать колебания системы и измерить секундомером время $t_2$ для $N$ полных колебаний.
4. Снять тело массы $m_2$ и подвесить тело неизвестной массы $m_1$.
5. Вызвать колебания и измерить время $t_1$ для того же числа $N$ полных колебаний.
6. Рассчитать неизвестную массу по формуле $m_1 = m_2 \left(\frac{t_1}{t_2}\right)^2$.

Ответ:
Неизвестную массу $m_1$ можно определить, измерив времена $t_1$ и $t_2$, за которые тело неизвестной массы $m_1$ и тело известной массы $m_2$ совершают одинаковое число $N$ полных колебаний на пружине. Расчет производится по формуле: $m_1 = m_2 \left(\frac{t_1}{t_2}\right)^2$.