Номер 1.2.1, страница 16 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

1.2.1. Частота колебаний в контуре равна 10 МГц. Если колебания заряда происходит по закону косинуса, определите время, через которое заряд на обкладках конденсатора $\text{q}$ станет равен половине амплитуды заряда $q_m$. (Ответ: $1,7 \cdot 10^{-8}$ с.)

Дано:

Частота колебаний $ \nu = 10 \text{ МГц} $

Закон колебаний заряда: $ q(t) = q_m \cos(\omega t) $

Условие: $ q = \frac{1}{2}q_m $

$ \nu = 10 \text{ МГц} = 10 \times 10^6 \text{ Гц} = 10^7 \text{ Гц} $

Найти:

Время $ t $

Решение:

Колебания заряда в контуре описываются по закону косинуса. Это означает, что в начальный момент времени $ t=0 $ заряд на конденсаторе максимален, и уравнение колебаний заряда имеет вид:

$ q(t) = q_m \cos(\omega t) $

где $ q_m $ — амплитуда заряда, а $ \omega $ — циклическая (круговая) частота.

Согласно условию задачи, необходимо определить время $ t $, через которое заряд $ q $ станет равен половине амплитудного значения $ q_m $:

$ q(t) = \frac{q_m}{2} $

Приравняем правые части уравнений:

$ q_m \cos(\omega t) = \frac{q_m}{2} $

Сократим обе части уравнения на $ q_m $:

$ \cos(\omega t) = \frac{1}{2} $

Мы ищем наименьшее положительное время $ t $, при котором это условие выполняется. Наименьшее положительное значение фазы $ \omega t $, для которого косинус равен $ 1/2 $, составляет:

$ \omega t = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3} $

Из этого уравнения выражаем время $ t $:

$ t = \frac{\pi}{3\omega} $

Циклическая частота $ \omega $ связана с линейной частотой $ \nu $ соотношением:

$ \omega = 2\pi\nu $

Подставим это выражение для $ \omega $ в формулу для времени $ t $:

$ t = \frac{\pi}{3(2\pi\nu)} = \frac{1}{6\nu} $

Теперь подставим числовое значение частоты $ \nu = 10^7 \text{ Гц} $:

$ t = \frac{1}{6 \times 10^7} \text{ с} = \frac{1}{6} \times 10^{-7} \text{ с} \approx 0.1667 \times 10^{-7} \text{ с} $

Представим результат в стандартном виде, округлив до двух значащих цифр:

$ t \approx 1.67 \times 10^{-8} \text{ с} \approx 1.7 \times 10^{-8} \text{ с} $

Ответ: $ t \approx 1.7 \times 10^{-8} \text{ с} $.