Номер 1.2.3, страница 16 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

1.2.3. Определите индуктивность катушки, подключенной к конденсатору емкостью 2,5 мкФ, чтобы в колебательном контуре возникали колебания с периодом 1,57 мс. (Ответ: 25 мГн.)

Дано:

Емкость конденсатора, $C = 2,5 \text{ мкФ}$

Период колебаний, $T = 1,57 \text{ мс}$

Перевод в систему СИ:

$C = 2,5 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

$T = 1,57 \cdot 10^{-3} \text{ с}$

Найти:

Индуктивность катушки, $L$

Решение:

Период свободных электромагнитных колебаний в идеальном колебательном контуре (LC-контуре) находится по формуле Томсона:

$T = 2\pi\sqrt{LC}$

где $T$ — период колебаний, $L$ — индуктивность катушки, $C$ — емкость конденсатора.

Чтобы найти индуктивность $L$, выразим ее из этой формулы. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$T^2 = (2\pi)^2 LC$

$T^2 = 4\pi^2 LC$

Отсюда выражаем индуктивность $L$:

$L = \frac{T^2}{4\pi^2 C}$

Подставим числовые значения в СИ. Заметим, что значение периода $T = 1,57 \cdot 10^{-3} \text{ с}$ с высокой точностью равно $\frac{\pi}{2} \cdot 10^{-3} \text{ с}$, поскольку $\pi \approx 3,14$. Использование этого приближения значительно упрощает вычисления.

$L = \frac{(1,57 \cdot 10^{-3})^2}{4\pi^2 \cdot 2,5 \cdot 10^{-6}} \approx \frac{(\frac{\pi}{2} \cdot 10^{-3})^2}{4\pi^2 \cdot 2,5 \cdot 10^{-6}}$

Раскроем скобки в числителе:

$L \approx \frac{\frac{\pi^2}{4} \cdot 10^{-6}}{4\pi^2 \cdot 2,5 \cdot 10^{-6}}$

Сократим общие множители $\pi^2$ и $10^{-6}$:

$L \approx \frac{\frac{1}{4}}{4 \cdot 2,5} = \frac{0,25}{10} = 0,025 \text{ Гн}$

Переведем полученное значение в миллигенри (мГн):

$L = 0,025 \text{ Гн} = 25 \cdot 10^{-3} \text{ Гн} = 25 \text{ мГн}$

Ответ: $25 \text{ мГн}$.