Номер 1.2.4, страница 16 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

1.2.4. Контур радиоприемника настроен на длину волны 500 м. Как нужно изменить индуктивность катушки колебательного контура, чтобы длина волны стала 250 м? (Ответ: уменьшить в 4 раза.)

Дано:

Начальная длина волны: $\lambda_1 = 500$ м.
Конечная длина волны: $\lambda_2 = 250$ м.
Емкость конденсатора $C$ остается неизменной.

Все величины даны в системе СИ.

Найти:

Отношение конечной индуктивности к начальной $\frac{L_2}{L_1}$.

Решение:

Длина электромагнитной волны, на которую настроен колебательный контур, определяется по формуле, связывающей ее с периодом колебаний в контуре:

$\lambda = c \cdot T$

где $c$ — скорость света, а $T$ — период свободных электромагнитных колебаний в контуре. Период колебаний в LC-контуре определяется формулой Томсона:

$T = 2\pi\sqrt{LC}$

Объединив эти две формулы, получим зависимость длины волны от параметров контура:

$\lambda = c \cdot 2\pi\sqrt{LC}$

Запишем это соотношение для начального и конечного состояний радиоприемника. Емкость конденсатора $C$ и скорость света $c$ являются постоянными величинами.

Начальное состояние: $\lambda_1 = 2\pi c \sqrt{L_1 C}$

Конечное состояние: $\lambda_2 = 2\pi c \sqrt{L_2 C}$

Чтобы найти, как нужно изменить индуктивность, разделим второе выражение на первое:

$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{2\pi c \sqrt{L_2 C}}{2\pi c \sqrt{L_1 C}}$

Сократим общие множители ($2\pi c$ и $\sqrt{C}$):

$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{L_2}{L_1}}$

Для того чтобы найти отношение индуктивностей $\frac{L_2}{L_1}$, возведем обе части уравнения в квадрат:

$\frac{L_2}{L_1} = \left(\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\right)^2$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$\frac{L_2}{L_1} = \left(\frac{250 \text{ м}}{500 \text{ м}}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$

Следовательно, $L_2 = \frac{1}{4}L_1$. Это означает, что новую индуктивность нужно сделать в 4 раза меньше первоначальной.

Ответ: индуктивность катушки колебательного контура нужно уменьшить в 4 раза.