Номер 1.2.5, страница 16 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

1.2.5. В идеальном колебательном контуре колебания заряда происходят по закону $q = q_m \cos \omega t$. Определите, через какой промежуток времени энергия электрического поля конденсатора будет в 3 раза больше энергии магнитного поля катушки. (Ответ: $T/12$.)

Дано:

Идеальный колебательный контур.

Закон колебаний заряда: $q(t) = q_m \cos(\omega t)$

Соотношение энергий: $W_E = 3 W_M$

Найти:

Промежуток времени $t$.

Решение:

Энергия электрического поля конденсатора в любой момент времени $t$ определяется формулой:

$W_E = \frac{q^2}{2C}$

Подставим в эту формулу закон изменения заряда со временем $q(t) = q_m \cos(\omega t)$:

$W_E(t) = \frac{(q_m \cos(\omega t))^2}{2C} = \frac{q_m^2}{2C} \cos^2(\omega t)$

Максимальная энергия электрического поля, которая также является полной энергией идеального колебательного контура, равна $W_{max} = \frac{q_m^2}{2C}$.

Таким образом, $W_E(t) = W_{max} \cos^2(\omega t)$.

В идеальном колебательном контуре полная энергия сохраняется и в любой момент времени равна сумме энергии электрического поля конденсатора ($W_E$) и энергии магнитного поля катушки ($W_M$):

$W_{max} = W_E(t) + W_M(t)$

Согласно условию задачи, в искомый момент времени энергия электрического поля в 3 раза больше энергии магнитного поля:

$W_E = 3 W_M$, откуда $W_M = \frac{W_E}{3}$.

Подставим это соотношение в закон сохранения энергии:

$W_{max} = W_E + \frac{W_E}{3} = \frac{4}{3} W_E$

Выразим энергию электрического поля через максимальную энергию:

$W_E = \frac{3}{4} W_{max}$

Теперь приравняем два полученных выражения для $W_E(t)$:

$W_{max} \cos^2(\omega t) = \frac{3}{4} W_{max}$

Сократим $W_{max}$:

$\cos^2(\omega t) = \frac{3}{4}$

Извлечем квадратный корень:

$\cos(\omega t) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Поскольку в начальный момент времени $t=0$, заряд на конденсаторе максимален ($q(0) = q_m \cos(0) = q_m$), то и энергия электрического поля максимальна. Мы ищем наименьший промежуток времени $t > 0$, за который будет выполнено условие. Косинус уменьшается от 1. Первое значение, которое он примет, будет положительным.

$\cos(\omega t) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Наименьшее положительное решение этого уравнения:

$\omega t = \frac{\pi}{6}$

Угловая частота $\omega$ связана с периодом колебаний $T$ соотношением $\omega = \frac{2\pi}{T}$.

Подставим это в наше уравнение:

$\frac{2\pi}{T} t = \frac{\pi}{6}$

Выразим время $t$:

$t = \frac{\pi}{6} \cdot \frac{T}{2\pi} = \frac{T}{12}$

Ответ: через промежуток времени $t = \frac{T}{12}$ энергия электрического поля конденсатора будет в 3 раза больше энергии магнитного поля катушки.