Номер 1, страница 20 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

1. В чем проявляется аналогия между электромагнитными колебаниями в контуре и колебаниями математического маятника?

Аналогия между электромагнитными колебаниями в идеальном LC-контуре и механическими колебаниями математического маятника (при малых углах отклонения) является очень глубокой. Она проявляется в нескольких ключевых аспектах.

Периодические превращения энергии
В обеих системах происходят периодические превращения энергии из одной формы в другую.
В математическом маятнике: происходит переход потенциальной энергии в кинетическую и обратно. В крайних точках траектории, где маятник на мгновение останавливается, его потенциальная энергия $E_п = mgh$ максимальна, а кинетическая энергия $E_к = \frac{mv^2}{2}$ равна нулю. При прохождении положения равновесия, наоборот, кинетическая энергия максимальна, а потенциальная энергия минимальна (принимается за ноль). В отсутствие трения полная механическая энергия $E = E_п + E_к$ сохраняется.
В колебательном контуре: происходит аналогичное превращение энергии электрического поля конденсатора $W_E = \frac{q^2}{2C}$ в энергию магнитного поля катушки индуктивности $W_M = \frac{LI^2}{2}$ и обратно. В момент, когда конденсатор полностью заряжен, энергия электрического поля максимальна, а ток в цепи и энергия магнитного поля равны нулю. Когда конденсатор полностью разряжается, ток в цепи достигает максимума, и вся энергия системы сосредоточена в магнитном поле катушки. В идеальном контуре (с нулевым сопротивлением) полная электромагнитная энергия $W = W_E + W_M$ сохраняется.

Идентичность математического описания
Динамика обеих систем описывается дифференциальными уравнениями второго порядка одного и того же типа, которые являются уравнениями свободных незатухающих гармонических колебаний: $x'' + \omega_0^2 x = 0$.
Для математического маятника уравнение движения для малых колебаний ($\sin\alpha \approx \alpha$) имеет вид: $ \frac{d^2\alpha}{dt^2} + \frac{g}{l} \alpha = 0 $, где $\alpha$ – угол отклонения, $l$ – длина подвеса, $g$ – ускорение свободного падения. Отсюда циклическая частота собственных колебаний равна $\omega_0 = \sqrt{\frac{g}{l}}$.
Для колебательного контура уравнение, полученное из второго правила Кирхгофа, имеет вид: $ \frac{d^2q}{dt^2} + \frac{1}{LC} q = 0 $, где $q$ – заряд на конденсаторе, $L$ – индуктивность катушки, $C$ – ёмкость конденсатора. Циклическая частота собственных колебаний (формула Томсона) равна $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$.

Аналогия физических величин
Сравнение уравнений и процессов превращения энергии позволяет установить прямое соответствие между физическими величинами, описывающими эти две системы. Так, электрический заряд $q$ в контуре является аналогом смещения $x$ маятника от положения равновесия. Сила тока $I = \frac{dq}{dt}$ является аналогом скорости $v = \frac{dx}{dt}$ маятника. Индуктивность $L$, характеризующая "инертность" контура по отношению к изменению тока, является аналогом массы $m$ маятника, которая является мерой его механической инертности. Величина, обратная ёмкости, $\frac{1}{C}$, является аналогом величины $\frac{mg}{l}$ для математического маятника, характеризующей возвращающую силу. Соответственно, энергия магнитного поля $W_M = \frac{LI^2}{2}$ аналогична кинетической энергии $E_к = \frac{mv^2}{2}$, а энергия электрического поля $W_E = \frac{q^2}{2C}$ аналогична потенциальной энергии $E_п = \frac{mg}{l}\frac{s^2}{2}$ (где $s$ - смещение по дуге). Наконец, активное сопротивление $R$ в реальном контуре, приводящее к затуханию колебаний, аналогично силе трения в механической системе.

Ответ: Аналогия между электромагнитными колебаниями в контуре и колебаниями математического маятника проявляется в том, что оба процесса представляют собой гармонические колебания, характеризуются периодическим превращением энергии между двумя видами (потенциальной и кинетической для маятника; энергией электрического и магнитного полей для контура) и описываются математически идентичными дифференциальными уравнениями. Это позволяет проводить прямое сопоставление физических величин, характеризующих эти системы (например, индуктивность $L$ аналогична массе $m$, а обратная ёмкость $\frac{1}{C}$ — величине $\frac{mg}{l}$, играющей роль коэффициента упругости).