Номер 1.2.6, страница 16 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

1.2.6. Определите период колебаний колебательного контура, если максимальный заряд конденсатора в процессе колебаний равен $2 \cdot 10^{-8}$ Кл, а максимальный ток в катушке составляет 1 А. (Ответ: 125,6 нс.)

Дано:

Максимальный заряд конденсатора $q_{max} = 2 \cdot 10^{-8}$ Кл

Максимальный ток в катушке $I_{max} = 1$ А

Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

Период колебаний $T$

Решение:

В идеальном колебательном контуре происходят гармонические колебания. Заряд на обкладках конденсатора изменяется со временем по закону:

$q(t) = q_{max} \cos(\omega t + \phi_0)$

где $q_{max}$ - амплитуда (максимальное значение) заряда, $\omega$ - циклическая частота колебаний, $t$ - время, $\phi_0$ - начальная фаза.

Сила тока в контуре $i(t)$ является первой производной от заряда по времени $q(t)$:

$i(t) = q'(t) = \frac{d}{dt}(q_{max} \cos(\omega t + \phi_0)) = -q_{max} \omega \sin(\omega t + \phi_0)$

Из этого уравнения видно, что амплитуда (максимальное значение) силы тока $I_{max}$ связана с амплитудой заряда $q_{max}$ и циклической частотой $\omega$ следующим соотношением:

$I_{max} = q_{max} \omega$

Из этой формулы можно выразить циклическую частоту колебаний:

$\omega = \frac{I_{max}}{q_{max}}$

Период колебаний $T$ связан с циклической частотой $\omega$ известной формулой:

$T = \frac{2\pi}{\omega}$

Подставим выражение для $\omega$ в формулу для периода $T$:

$T = \frac{2\pi}{I_{max}/q_{max}} = 2\pi \frac{q_{max}}{I_{max}}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи в полученную формулу:

$T = 2\pi \frac{2 \cdot 10^{-8} \text{ Кл}}{1 \text{ А}} = 4\pi \cdot 10^{-8} \text{ с}$

Для вычисления используем приближенное значение $\pi \approx 3,14$:

$T \approx 4 \cdot 3,14 \cdot 10^{-8} \text{ с} \approx 12,56 \cdot 10^{-8} \text{ с}$

Для удобства представим результат в наносекундах (1 нс = $10^{-9}$ с):

$T \approx 125,6 \cdot 10^{-9} \text{ с} = 125,6 \text{ нс}$

Ответ: $125,6$ нс.