Номер 7.1.4, страница 150 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

7.1.4. Определите период полураспада $\text{T}$ некоторого радиоактивного изотопа, если его активность за $t = 5$ суток уменьшилась в $n = 2,2$ раза. (Ответ: 4,4 суток.)

Дано:

$t = 5$ суток

$n = \frac{A_0}{A} = 2,2$

Найти:

$T$ - ?

Решение:

Закон радиоактивного распада связывает активность изотопа в любой момент времени $A$ с начальной активностью $A_0$, периодом полураспада $T$ и временем $t$:

$A = A_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$

Согласно условию задачи, за время $t$ активность уменьшилась в $n$ раз. Это означает, что отношение начальной активности к конечной равно $n$:

$\frac{A_0}{A} = n$

Отсюда $A = \frac{A_0}{n}$.

Подставим это выражение в формулу закона радиоактивного распада:

$\frac{A_0}{n} = A_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$

Сократим обе части уравнения на $A_0$:

$\frac{1}{n} = 2^{-\frac{t}{T}}$

Это уравнение можно переписать в виде:

$n = 2^{\frac{t}{T}}$

Чтобы выразить $T$, прологарифмируем обе части уравнения. Удобнее всего использовать натуральный логарифм (ln):

$\ln(n) = \ln(2^{\frac{t}{T}})$

Используя свойство логарифма $\ln(a^b) = b \cdot \ln(a)$, получаем:

$\ln(n) = \frac{t}{T} \cdot \ln(2)$

Теперь выразим период полураспада $T$:

$T = \frac{t \cdot \ln(2)}{\ln(n)}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$T = \frac{5 \cdot \ln(2)}{\ln(2,2)}$

Используем значения логарифмов: $\ln(2) \approx 0,693$ и $\ln(2,2) \approx 0,788$.

$T \approx \frac{5 \cdot 0,693}{0,788} \approx \frac{3,465}{0,788} \approx 4,397$ суток.

Округляя результат до десятых, получаем $T \approx 4,4$ суток.

Ответ: $T \approx 4,4$ суток.