Номер 7.1.5, страница 150 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

7.1.5. Определите период полураспада радиоактивного изотопа, если $n = 5/8$ начального количества ядер этого изотопа распалось за время $t = 849 \text{ с.}$ (Ответ: 10 мин.)

Дано:

Доля распавшихся ядер: $n = 5/8$

Время распада: $t = 849 \text{ с}$

Все величины представлены в системе СИ (секунды), перевод не требуется.

Найти:

Период полураспада $T$

Решение:

Закон радиоактивного распада связывает количество нераспавшихся ядер $N$ в момент времени $t$ с начальным количеством ядер $N_0$ и периодом полураспада $T$:

$N = N_0 \cdot 2^{-t/T}$

По условию, за время $t$ распалась доля $n = 5/8$ от начального количества ядер. Это означает, что число распавшихся ядер $\Delta N$ составляет:

$\Delta N = n \cdot N_0 = \frac{5}{8} N_0$

Тогда количество нераспавшихся (оставшихся) ядер $N$ в момент времени $t$ равно:

$N = N_0 - \Delta N = N_0 - \frac{5}{8} N_0 = (1 - \frac{5}{8})N_0 = \frac{3}{8} N_0$

Теперь подставим это выражение в формулу закона радиоактивного распада:

$\frac{3}{8} N_0 = N_0 \cdot 2^{-t/T}$

Разделим обе части уравнения на $N_0$:

$\frac{3}{8} = 2^{-t/T}$

Перевернем дробь, чтобы избавиться от отрицательного показателя степени:

$\frac{8}{3} = 2^{t/T}$

Для того чтобы найти $t/T$, прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2:

$\log_2\left(\frac{8}{3}\right) = \log_2\left(2^{t/T}\right)$

$\log_2(8) - \log_2(3) = \frac{t}{T}$

Поскольку $\log_2(8) = 3$, получаем:

$3 - \log_2(3) = \frac{t}{T}$

Выразим период полураспада $T$:

$T = \frac{t}{3 - \log_2(3)}$

Используем известное значение $\log_2(3) \approx 1.585$. Подставим числовые значения:

$T = \frac{849 \text{ с}}{3 - 1.585} = \frac{849 \text{ с}}{1.415} \approx 600 \text{ с}$

Переведем результат в минуты, зная, что в одной минуте 60 секунд:

$T = \frac{600}{60} \text{ мин} = 10 \text{ мин}$

Ответ: $10 \text{ мин}$.