Лабораторная работа №4, страница 151 - гдз по физике 11 класс учебник Башарулы, Шункеев

Лабораторная работа № 4. Определение периода полураспада

Цель работы: моделировать процесс радиоактивного распада и определить период полураспада графическим методом.

Необходимое оборудование: 1) 128 канцелярских кнопок; 2) банка; 3) разнос.

Краткая теория. Периодом полураспада называется время, в течение которого распадается половина всех атомов радиоактивного элемента. Радиоактивный распад подчиняется закону:

$N = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$

или

$N = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$

где $N_0$ – первоначальное число атомов; $\text{N}$ – число нераспавшихся атомов к моменту времени $\text{t}$.

Активностью называют число распавшихся атомов в единицу времени $\text{A}$. Если в полиграфическом масштабе построить график зависимости $ln A$ от времени $\text{t}$, то с помощью кривой можно графически найти период полураспада.

Процесс радиоактивного распада можно промоделировать подбрасыванием кнопок, при котором с той же вероятностью, как в законе радиоактивного распада, выпадают «острие» или «шляпка». Предположим, что если выпадет «острие» – ядро уцелело, если «шляпка» – распалось. Каждое бросание кнопок соответствует для ядра протеканию промежутка времени, равного периоду полураспада.

Порядок работы:

1. Отсчитайте начальное количество кнопок $N_0 = 128$, перемешайте их в банке и высыпьте на разнос.

2. Подсчитайте число «нераспавшихся» кнопок (то есть число кнопок, лежащих «острием» вверх), соберите их обратно в банку, снова перемешайте и высыпьте на разнос.

3. Каждое бросание соответствует определенному промежутку времени (можно считать секундой, минутой).

4. Заносите каждый раз в таблицу число «распавшихся» кнопок.

№ опыта или единица времени (с)   Число «распавшихся» кнопок - A

1

2

3

5. Опыт повторите 10 раз.

6. Постройте график зависимости $ln A$ от времени $\text{t}$.

7. На графике отметьте две точки, различающиеся по активности вдвое, т.е. на $ln 2 = 0.3$.

8. Проведите через эти точки прямые, параллельные оси абсцисс до пересечения с прямой, и опустите через эти точки на абсциссу два перпендикуляра.

9. Полученный отрезок $(t_2 - t_1)$ между двумя точками и будет соответствовать периоду полураспада $(T = t_2 - t_1)$.

10. Запишите вывод: что вы измеряли, какой получен результат.

Для осмысления проделанной работы обсудите в группах приведенные ниже вопросы.

Контрольные вопросы к лабораторной работе № 4

1. Что называется радиоактивностью?

2. Выведите закон радиоактивного распада.

3. Что такое период полураспада?

4. Какое воздействие оказывает ионизирующее излучение на организм?

5. Приведите примеры периодов полураспада некоторых радиоактивных элементов.

6. Как выглядит график зависимости спада активности радиоактивного элемента от времени?

1. Что называется радиоактивностью?

Радиоактивностью (от лат. radio — излучаю и activus — действенный) называется самопроизвольное (спонтанное) превращение неустойчивых атомных ядер в ядра других элементов, которое сопровождается испусканием элементарных частиц или ядерных фрагментов (например, альфа-частиц, бета-частиц) и/или электромагнитного излучения (гамма-квантов).

Это явление является свойством атомных ядер, а не атомов в целом. Процесс радиоактивного распада носит вероятностный характер и не зависит от внешних условий, таких как температура, давление или химическое окружение атома. Основные виды радиоактивного излучения — это альфа-излучение (поток ядер гелия), бета-излучение (поток электронов или позитронов) и гамма-излучение (поток высокоэнергетических фотонов).

Ответ: Радиоактивность — это спонтанное превращение неустойчивых атомных ядер в другие ядра, сопровождающееся испусканием частиц и/или излучения.

2. Выведите закон радиоактивного распада.

Дано:

Пусть в начальный момент времени $t=0$ имеется $N_0$ радиоактивных ядер. В момент времени $t$ количество нераспавшихся ядер равно $N$. Активность препарата, то есть число ядер $\Delta N$, распадающихся за малый промежуток времени $\Delta t$, пропорциональна числу имеющихся ядер $N$ и длительности этого промежутка $\Delta t$.

$\Delta N = -\lambda N \Delta t$

Здесь $\lambda$ — постоянная радиоактивного распада, характеризующая вероятность распада ядра в единицу времени. Знак минус указывает на то, что число ядер со временем уменьшается.

Найти:

Зависимость числа нераспавшихся ядер от времени $N(t)$.

Решение:

Перейдем от конечных приращений к дифференциалам, заменив $\Delta N$ на $dN$ и $\Delta t$ на $dt$.

$dN = -\lambda N dt$

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные, перенеся все, что относится к $N$, в левую часть, а все, что относится к $t$, — в правую:

$\frac{dN}{N} = -\lambda dt$

Теперь проинтегрируем обе части уравнения. Интегрирование левой части проводится от начального числа ядер $N_0$ до текущего числа $N$, а правой — от начального момента времени 0 до текущего момента $t$:

$\int_{N_0}^{N} \frac{dN}{N} = \int_{0}^{t} -\lambda dt$

Вычислим интегралы:

$[\ln N]_{N_0}^{N} = [-\lambda t]_0^t$

$\ln N - \ln N_0 = -\lambda (t - 0)$

Используя свойство логарифмов $\ln a - \ln b = \ln(a/b)$, получаем:

$\ln\frac{N}{N_0} = -\lambda t$

Для того чтобы выразить $N$, потенцируем обе части уравнения (берем экспоненту):

$e^{\ln\frac{N}{N_0}} = e^{-\lambda t}$

$\frac{N}{N_0} = e^{-\lambda t}$

Отсюда получаем окончательный вид закона радиоактивного распада:

$N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$

Ответ: Закон радиоактивного распада имеет вид $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$, где $N(t)$ — число нераспавшихся ядер в момент времени $t$, $N_0$ — начальное число ядер, $\lambda$ — постоянная распада.

3. Что такое период полураспада?

Период полураспада ($T$ или $T_{1/2}$) — это физическая величина, характеризующая скорость радиоактивного распада. Она равна промежутку времени, в течение которого исходное количество радиоактивных ядер в среднем уменьшается в два раза.

Для каждого радиоактивного изотопа период полураспада является постоянной величиной. Связь между периодом полураспада и постоянной распада $\lambda$ можно найти из закона радиоактивного распада $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$. По определению, в момент времени $t = T_{1/2}$ число нераспавшихся ядер $N(T_{1/2})$ станет равным $N_0/2$. Подставим эти значения в закон:

$\frac{N_0}{2} = N_0 e^{-\lambda T_{1/2}}$

Сократив на $N_0$, получим:

$\frac{1}{2} = e^{-\lambda T_{1/2}}$

Прологарифмировав обе части по основанию $e$, имеем:

$\ln\frac{1}{2} = -\lambda T_{1/2}$

$-\ln 2 = -\lambda T_{1/2}$

Отсюда формула для периода полураспада:

$T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} \approx \frac{0.693}{\lambda}$

Ответ: Период полураспада — это время, за которое распадается половина от начального числа радиоактивных ядер. Он связан с постоянной распада $\lambda$ соотношением $T_{1/2} = (\ln 2) / \lambda$.

4. Какое воздействие оказывает ионизирующее излучение на организм?

Ионизирующее излучение (альфа-, бета-, гамма-излучение, рентгеновские лучи, нейтроны) обладает достаточной энергией, чтобы при взаимодействии с веществом выбивать электроны из атомов и молекул, превращая их в ионы. Воздействие на живой организм является сложным и в основном разрушительным.

Основные механизмы и последствия:

1. Прямое действие: Частица излучения непосредственно попадает в жизненно важную молекулу клетки (чаще всего в ДНК) и повреждает ее. Это может привести к разрывам цепей ДНК, изменению ее структуры, что вызывает мутации, гибель клетки или ее злокачественное перерождение.

2. Косвенное действие: Частицы излучения взаимодействуют с молекулами воды, которых в клетке большинство (~70-80%). Это приводит к радиолизу воды и образованию высокоактивных свободных радикалов (например, H•, OH•, $H_2O_2$). Эти радикалы химически очень агрессивны и, диффундируя по клетке, повреждают различные органические молекулы: ДНК, белки, липиды клеточных мембран. Косвенное действие вносит основной вклад в биологические эффекты излучения.

Последствия для организма делятся на:

• Соматические: Проявляются у самого облученного индивида. При больших дозах, полученных за короткое время, развивается острая лучевая болезнь. При малых дозах, действующих длительно, возрастает риск развития отдаленных последствий: злокачественных опухолей (лейкозы, рак щитовидной железы, рак легких и др.), лучевых катаракт, сокращения продолжительности жизни.

• Генетические: Возникают в результате повреждения ДНК в половых клетках (сперматозоидах и яйцеклетках). Эти повреждения (мутации) могут не проявляться у самого индивида, но передаются потомству, приводя к наследственным заболеваниям, врожденным аномалиям и уродствам.

Ответ: Ионизирующее излучение вызывает ионизацию атомов и молекул в клетках живого организма, что приводит к повреждению ДНК и других важных структур, либо напрямую, либо через образование свободных радикалов. Это может вызывать гибель клеток, мутации, развитие лучевой болезни, раковых заболеваний и генетических дефектов у потомства.

5. Приведите примеры периодов полураспада некоторых радиоактивных элементов.

Периоды полураспада радиоактивных изотопов могут варьироваться в очень широких пределах, от долей секунды до миллиардов лет. Вот несколько примеров:

• Уран-238 ($^{238}$U): 4,468 миллиарда лет

• Калий-40 ($^{40}$K): 1,25 миллиарда лет

• Углерод-14 ($^{14}$C): 5730 лет

• Радий-226 ($^{226}$Ra): 1600 лет

• Кобальт-60 ($^{60}$Co): 5,27 года

• Цезий-137 ($^{137}$Cs): 30,17 лет

• Йод-131 ($^{131}$I): 8,02 суток

• Радон-222 ($^{222}$Rn): 3,82 суток

• Полоний-214 ($^{214}$Po): 164,3 микросекунды

Ответ: Примеры периодов полураспада: Уран-238 – 4,5 млрд лет, Углерод-14 – 5730 лет, Йод-131 – 8 суток, Полоний-214 – 164 микросекунды.

6. Как выглядит график зависимости спада активности радиоактивного элемента от времени?

Активность ($A$) радиоактивного образца — это число распадов в единицу времени. Она пропорциональна числу нераспавшихся ядер $N$ в данный момент времени: $A = \lambda N$, где $\lambda$ — постоянная распада. Поскольку число ядер $N$ убывает со временем по экспоненциальному закону $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$, активность также убывает по аналогичному закону:

$A(t) = \lambda N(t) = \lambda N_0 e^{-\lambda t}$

Обозначив начальную активность как $A_0 = \lambda N_0$, получим:

$A(t) = A_0 e^{-\lambda t}$

График зависимости активности $A$ от времени $t$ представляет собой экспоненциально убывающую кривую.

Основные характеристики графика:

1. Ось ординат (вертикальная) — активность $A$, ось абсцисс (горизонтальная) — время $t$.

2. Кривая начинается в точке $(0, A_0)$, где $A_0$ — начальная активность образца.

3. С течением времени кривая плавно убывает, никогда не пересекая ось времени, а лишь асимптотически приближаясь к ней (активность стремится к нулю при $t \to \infty$).

4. За каждый последующий интервал времени, равный периоду полураспада $T_{1/2}$, активность уменьшается вдвое. То есть, в момент времени $t = T_{1/2}$ активность будет $A_0/2$, в момент $t = 2T_{1/2}$ — $A_0/4$, и так далее.

Ответ: График зависимости активности от времени является экспоненциально спадающей кривой, которая начинается от значения начальной активности $A_0$ при $t=0$ и асимптотически стремится к нулю с течением времени.