Номер 3, страница 89 - гдз по физике 11 класс учебник Касьянов

Вопросы. § 26. Генерирование переменного электрического тока. Глава 3. Электромагнетизм - номер 3, страница 89.

3. Нарисуйте один под другим графики зависимости от времени магнитного потока через вращающуюся рамку и ЭДС индукции в ней.

Решение

Рассмотрим проводящую рамку площадью $S$, которая вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$ в однородном магнитном поле с индукцией $B$.

График зависимости магнитного потока от времени

Магнитный поток $\Phi$ через поверхность рамки определяется как произведение модуля вектора магнитной индукции $B$ на площадь рамки $S$ и на косинус угла $\alpha$ между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и вектором нормали $\vec{n}$ к плоскости рамки:

$\Phi = B S \cos \alpha$

При равномерном вращении рамки угол $\alpha$ изменяется со временем по линейному закону: $\alpha = \omega t$ (при условии, что в начальный момент времени $t=0$ угол $\alpha=0$, то есть плоскость рамки перпендикулярна линиям магнитной индукции).

Тогда зависимость магнитного потока от времени принимает вид:

$\Phi(t) = B S \cos(\omega t)$

Это гармоническое колебание, происходящее по закону косинуса. Амплитудное (максимальное) значение магнитного потока равно $\Phi_{max} = B S$. Таким образом, окончательная формула:

$\Phi(t) = \Phi_{max} \cos(\omega t)$

График зависимости ЭДС индукции от времени

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, электродвижущая сила (ЭДС) индукции $\mathcal{E}$, возникающая в рамке, равна скорости изменения магнитного потока через рамку, взятой с противоположным знаком:

$\mathcal{E}(t) = - \frac{d\Phi(t)}{dt}$

Для нахождения этой зависимости необходимо взять производную от функции магнитного потока по времени:

$\mathcal{E}(t) = - \frac{d}{dt} (\Phi_{max} \cos(\omega t)) = - \Phi_{max} \cdot (-\omega \sin(\omega t)) = \Phi_{max} \omega \sin(\omega t)$

Амплитуда ЭДС индукции равна $\mathcal{E}_{max} = \Phi_{max} \omega = B S \omega$. Тогда зависимость ЭДС от времени имеет вид:

$\mathcal{E}(t) = \mathcal{E}_{max} \sin(\omega t)$

Это также гармоническое колебание, но происходящее по закону синуса.

Сравнивая функции $\Phi(t)$ и $\mathcal{E}(t)$, можно заметить, что колебания ЭДС индукции опережают по фазе колебания магнитного потока на $\frac{\pi}{2}$ (или 90°).

• Когда магнитный поток максимален (рамка перпендикулярна полю, $\cos(\omega t) = \pm 1$), его скорость изменения равна нулю, и ЭДС индукции равна нулю.
• Когда магнитный поток равен нулю (рамка параллельна полю, $\cos(\omega t) = 0$), его скорость изменения максимальна, и ЭДС индукции достигает своего амплитудного значения.

Графики зависимостей $\Phi(t)$ и $\mathcal{E}(t)$ представляют собой косинусоиду и синусоиду соответственно, сдвинутые по фазе на $\frac{\pi}{2}$.

Ответ:

График зависимости магнитного потока от времени $\Phi(t)$ через вращающуюся рамку является косинусоидой, описываемой функцией $\Phi(t) = \Phi_{max} \cos(\omega t)$. График зависимости ЭДС индукции от времени $\mathcal{E}(t)$ в этой рамке является синусоидой, описываемой функцией $\mathcal{E}(t) = \mathcal{E}_{max} \sin(\omega t)$. Колебания ЭДС опережают по фазе колебания магнитного потока на $\pi/2$. Наглядное представление графиков приведено выше.