Страница 89 - гдз по физике 11 класс учебник Касьянов

В О П Р О С Ы

1. Почему основным элементом генератора является рамка, вращающаяся в магнитном поле?

Основным элементом генератора является рамка, вращающаяся в магнитном поле, потому что работа любого электрогенератора основана на явлении электромагнитной индукции. Это явление заключается в возникновении электродвижущей силы (ЭДС), вызывающей электрический ток, в замкнутом проводящем контуре при изменении магнитного потока, который пронизывает этот контур.

Магнитный поток ($Φ$) через плоский контур (рамку) описывается формулой:

$Φ = B \cdot S \cdot \cos(\alpha)$

где $B$ – это модуль вектора магнитной индукции, $S$ – площадь рамки, а $\alpha$ – угол между направлением вектора магнитной индукции и нормалью (перпендикуляром) к плоскости рамки.

Для того чтобы в рамке возникла ЭДС, необходимо постоянно изменять магнитный поток. Самым простым и эффективным способом обеспечить непрерывное изменение потока является вращение рамки в стационарном (постоянном) магнитном поле. Когда рамка вращается, угол $\alpha$ между нормалью к ее плоскости и линиями поля постоянно изменяется. Это приводит к периодическому изменению $\cos(\alpha)$, и, как следствие, к непрерывному изменению магнитного потока $Φ$ через рамку.

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, величина наводимой ЭДС индукции ($ε_i$) прямо пропорциональна скорости изменения магнитного потока:

$ε_i = - \frac{ΔΦ}{Δt}$

Таким образом, вращающаяся рамка — это и есть тот контур, в котором механическая энергия вращения преобразуется в электрическую энергию за счет непрерывной генерации ЭДС. Без этого ключевого элемента — проводящего контура, изменяющего свою ориентацию в магнитном поле, — явление электромагнитной индукции не могло бы быть использовано для создания непрерывного тока.

Ответ: Рамка, вращающаяся в магнитном поле, является основным элементом генератора, так как именно ее вращение обеспечивает непрерывное изменение магнитного потока через ее площадь. Это изменение, в свою очередь, согласно закону электромагнитной индукции, создает (индуцирует) в рамке электродвижущую силу (ЭДС), которая и является источником генерируемого электрического тока.

2. Поясните механизм (причины) разделения зарядов в сторонах рамки при её вращении в магнитном поле.

Механизм разделения зарядов в проводящей рамке, вращающейся в магнитном поле, основан на действии силы Лоренца на свободные носители заряда.

1. В материале, из которого сделана рамка (проводнике), существуют свободные электроны, которые могут перемещаться по всему объему проводника.

2. Когда рамка вращается, её стороны движутся в магнитном поле. Вместе со сторонами рамки движутся и свободные электроны внутри них. Таким образом, мы имеем заряженные частицы, движущиеся в магнитном поле.

3. Согласно закону Лоренца, на всякий заряд $q$, движущийся со скоростью $\vec{v}$ в магнитном поле с индукцией $\vec{B}$, действует сила Лоренца $\vec{F}_L$. Она определяется формулой:

$ \vec{F}_L = q(\vec{v} \times \vec{B}) $

Для электронов заряд $q$ отрицателен ($q = -e$). Направление силы Лоренца перпендикулярно и вектору скорости $\vec{v}$, и вектору магнитной индукции $\vec{B}$. Его можно определить по правилу левой руки (для отрицательного заряда).

4. Эта сила действует на электроны и заставляет их смещаться вдоль проводника (вдоль той стороны рамки, которая движется в поле). В результате на одном конце проводника накапливается избыток электронов (отрицательный заряд), а на другом возникает их недостаток (положительный заряд). Происходит разделение зарядов.

5. В тех сторонах рамки, которые перпендикулярны оси вращения, векторы скорости направлены в противоположные стороны. Следовательно, и силы Лоренца, действующие на заряды в этих сторонах, будут направлены в противоположные стороны вдоль проводника. Это приводит к возникновению электродвижущей силы (ЭДС) индукции в каждой из этих сторон. Если рамка замкнута, эти ЭДС создают индукционный ток.

Таким образом, вращение проводника в магнитном поле приводит к перераспределению свободных зарядов под действием силы Лоренца, что и является причиной возникновения ЭДС индукции.

Ответ: Разделение зарядов происходит из-за действия силы Лоренца на свободные электроны в проводнике. При вращении рамки в магнитном поле ее стороны движутся, и на электроны в них действует сила Лоренца ($\vec{F}_L = q(\vec{v} \times \vec{B})$), направленная вдоль проводника. Эта сила перемещает электроны к одному концу стороны рамки, создавая там избыток отрицательного заряда, и, соответственно, недостаток его (положительный заряд) на другом конце.

3. Нарисуйте один под другим графики зависимости от времени магнитного потока через вращающуюся рамку и ЭДС индукции в ней.

Решение

Рассмотрим проводящую рамку площадью $S$, которая вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$ в однородном магнитном поле с индукцией $B$.

График зависимости магнитного потока от времени

Магнитный поток $\Phi$ через поверхность рамки определяется как произведение модуля вектора магнитной индукции $B$ на площадь рамки $S$ и на косинус угла $\alpha$ между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и вектором нормали $\vec{n}$ к плоскости рамки:

$\Phi = B S \cos \alpha$

При равномерном вращении рамки угол $\alpha$ изменяется со временем по линейному закону: $\alpha = \omega t$ (при условии, что в начальный момент времени $t=0$ угол $\alpha=0$, то есть плоскость рамки перпендикулярна линиям магнитной индукции).

Тогда зависимость магнитного потока от времени принимает вид:

$\Phi(t) = B S \cos(\omega t)$

Это гармоническое колебание, происходящее по закону косинуса. Амплитудное (максимальное) значение магнитного потока равно $\Phi_{max} = B S$. Таким образом, окончательная формула:

$\Phi(t) = \Phi_{max} \cos(\omega t)$

График зависимости ЭДС индукции от времени

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, электродвижущая сила (ЭДС) индукции $\mathcal{E}$, возникающая в рамке, равна скорости изменения магнитного потока через рамку, взятой с противоположным знаком:

$\mathcal{E}(t) = - \frac{d\Phi(t)}{dt}$

Для нахождения этой зависимости необходимо взять производную от функции магнитного потока по времени:

$\mathcal{E}(t) = - \frac{d}{dt} (\Phi_{max} \cos(\omega t)) = - \Phi_{max} \cdot (-\omega \sin(\omega t)) = \Phi_{max} \omega \sin(\omega t)$

Амплитуда ЭДС индукции равна $\mathcal{E}_{max} = \Phi_{max} \omega = B S \omega$. Тогда зависимость ЭДС от времени имеет вид:

$\mathcal{E}(t) = \mathcal{E}_{max} \sin(\omega t)$

Это также гармоническое колебание, но происходящее по закону синуса.

Сравнивая функции $\Phi(t)$ и $\mathcal{E}(t)$, можно заметить, что колебания ЭДС индукции опережают по фазе колебания магнитного потока на $\frac{\pi}{2}$ (или 90°).

• Когда магнитный поток максимален (рамка перпендикулярна полю, $\cos(\omega t) = \pm 1$), его скорость изменения равна нулю, и ЭДС индукции равна нулю.
• Когда магнитный поток равен нулю (рамка параллельна полю, $\cos(\omega t) = 0$), его скорость изменения максимальна, и ЭДС индукции достигает своего амплитудного значения.

Графики зависимостей $\Phi(t)$ и $\mathcal{E}(t)$ представляют собой косинусоиду и синусоиду соответственно, сдвинутые по фазе на $\frac{\pi}{2}$.

Ответ:

График зависимости магнитного потока от времени $\Phi(t)$ через вращающуюся рамку является косинусоидой, описываемой функцией $\Phi(t) = \Phi_{max} \cos(\omega t)$. График зависимости ЭДС индукции от времени $\mathcal{E}(t)$ в этой рамке является синусоидой, описываемой функцией $\mathcal{E}(t) = \mathcal{E}_{max} \sin(\omega t)$. Колебания ЭДС опережают по фазе колебания магнитного потока на $\pi/2$. Наглядное представление графиков приведено выше.

4. Объясните назначение гибких контактов (щёток) в генераторе переменного тока.

Гибкие контакты, или щётки, в генераторе переменного тока — это элементы, которые обеспечивают электрическую связь между неподвижной частью генератора (статором) и его вращающейся частью (ротором). Их конкретное назначение зависит от конструкции генератора.

Существует два основных типа конструкций генераторов переменного тока:

1. Генераторы с вращающимся электромагнитом (наиболее распространенный тип).

   В таких генераторах обмотка, создающая магнитное поле (обмотка возбуждения), находится на роторе, а силовая обмотка, в которой генерируется переменный ток (обмотка якоря), — на статоре. Для создания магнитного поля на обмотку возбуждения ротора необходимо подать постоянный ток. Поскольку ротор вращается, прямое проводное соединение невозможно.

   Именно для этой цели и служат щётки:

   • Они прижаты к специальным контактным кольцам (slip rings), расположенным на валу ротора.
   • Через щётки и контактные кольца постоянный ток от неподвижного источника питания (например, от регулятора напряжения) поступает на вращающуюся обмотку возбуждения.
   • Таким образом, основная функция щёток в этой конструкции — подвод постоянного тока для питания электромагнита ротора.

   Сам же вырабатываемый мощный переменный ток снимается напрямую с неподвижных обмоток статора, что является большим преимуществом, так как это позволяет избежать передачи больших токов через скользящие контакты.

2. Генераторы с вращающимся якорем (менее распространенный тип).

   В этой конструкции, наоборот, магнитное поле создается неподвижными магнитами на статоре, а обмотка якоря, в которой индуцируется переменный ток, вращается вместе с ротором.

   В этом случае назначение щёток — снимать сгенерированный переменный ток с вращающейся обмотки и передавать его через контактные кольца во внешнюю стационарную цепь (к потребителям).

Щётки называются "гибкими контактами", так как они устанавливаются в щеткодержателях с пружинами, которые обеспечивают их постоянное и надежное прижатие к контактным кольцам, компенсируя мелкие неровности и вибрации при вращении.

Ответ: Назначение гибких контактов (щёток) в генераторе переменного тока — обеспечивать непрерывную электрическую связь между вращающейся и неподвижной частями. В зависимости от конструкции они либо подводят постоянный ток к вращающемуся электромагниту (обмотке возбуждения), либо отводят сгенерированный переменный ток от вращающейся обмотки якоря во внешнюю цепь.

5. Почему в реальном генераторе вместо рамки используют катушку с большим числом витков?

Решение

Принцип работы любого электрического генератора основан на явлении электромагнитной индукции. Согласно закону Фарадея, при изменении магнитного потока $ \Phi_B $, пронизывающего замкнутый проводящий контур, в этом контуре возникает электродвижущая сила (ЭДС индукции), равная скорости изменения этого потока, взятой с противоположным знаком:

$ \mathcal{E} = - \frac{d\Phi_B}{dt} $

В генераторе рамка (или катушка) вращается в магнитном поле. Магнитный поток через рамку площадью $ S $ в однородном магнитном поле с индукцией $ B $ зависит от угла $ \alpha $ между вектором магнитной индукции и нормалью к плоскости рамки:

$ \Phi_B = B \cdot S \cdot \cos(\alpha) $

При вращении рамки с постоянной угловой скоростью $ \omega $, угол $ \alpha $ изменяется со временем ($ \alpha = \omega t $). Изменение магнитного потока приводит к возникновению ЭДС индукции. Амплитудное (максимальное) значение ЭДС, индуцируемой в одной рамке (одном витке), равно:

$ \mathcal{E}_{max, 1} = B \cdot S \cdot \omega $

Если вместо одной рамки использовать катушку, состоящую из $ N $ одинаковых витков, то в каждом витке будет индуцироваться своя ЭДС. Поскольку все витки в катушке соединены последовательно, возникающие в них ЭДС складываются. Таким образом, полная ЭДС индукции, возникающая в катушке, будет в $ N $ раз больше, чем в одном витке:

$ \mathcal{E}_{катушки} = N \cdot \mathcal{E}_{1} $

Соответственно, амплитудное значение ЭДС для катушки с $ N $ витками будет:

$ \mathcal{E}_{max, N} = N \cdot B \cdot S \cdot \omega $

Из формулы видно, что амплитуда ЭДС прямо пропорциональна числу витков $ N $. Поэтому использование катушки с большим числом витков является эффективным способом значительно увеличить величину вырабатываемой ЭДС и, следовательно, напряжение и мощность генератора, по сравнению с одиночной рамкой при тех же условиях.

Ответ: В реальном генераторе вместо рамки используют катушку с большим числом витков для того, чтобы увеличить амплитуду индуцируемой электродвижущей силы (ЭДС). ЭДС индукции прямо пропорциональна числу витков в катушке, поэтому чем больше витков, тем большее напряжение можно получить на выходе генератора при прочих равных условиях.

З А Д А Ч И

1. Прямоугольная рамка со сторонами $a = 5$ см и $b = 8$ см вращается вокруг вертикальной оси с периодом $T = 0,02$ с в однородном магнитном поле с индукцией $B = 0,05$ Тл, направленной перпендикулярно оси вращения. Найдите максимальную ЭДС, индуцируемую в рамке, и зависимость ЭДС от времени.

Дано:

$a = 5 \text{ см} = 0,05 \text{ м}$

$b = 8 \text{ см} = 0,08 \text{ м}$

$T = 0,02 \text{ с}$

$B = 0,05 \text{ Тл}$

Найти:

$\mathcal{E}_{max}$ - ?

$\mathcal{E}(t)$ - ?

Решение:

При вращении рамки в однородном магнитном поле магнитный поток, пронизывающий ее, изменяется со временем. Это изменение магнитного потока приводит к возникновению ЭДС индукции.

Магнитный поток $\Phi$ через контур определяется формулой:

$\Phi = B \cdot S \cdot \cos(\alpha)$,

где $S$ — площадь рамки, а $\alpha$ — угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и нормалью к плоскости рамки $\vec{n}$.

Площадь прямоугольной рамки:

$S = a \cdot b = 0,05 \text{ м} \cdot 0,08 \text{ м} = 0,004 \text{ м}^2$.

Рамка вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$. Угол $\alpha$ изменяется со временем по закону $\alpha(t) = \omega t$ (при условии, что в начальный момент времени $t=0$ нормаль к рамке совпадает с направлением магнитного поля).

Угловая скорость связана с периодом вращения $T$ соотношением:

$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0,02 \text{ с}} = 100\pi \text{ рад/с}$.

Таким образом, зависимость магнитного потока от времени имеет вид:

$\Phi(t) = B \cdot S \cdot \cos(\omega t) = 0,05 \cdot 0,004 \cdot \cos(100\pi t) = 0,0002\cos(100\pi t) \text{ Вб}$.

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, ЭДС индукции $\mathcal{E}$, возникающая в рамке, равна скорости изменения магнитного потока, взятой с обратным знаком:

$\mathcal{E}(t) = -\frac{d\Phi(t)}{dt} = -\frac{d}{dt}(B S \cos(\omega t))$

$\mathcal{E}(t) = -B S (-\omega \sin(\omega t)) = B S \omega \sin(\omega t)$.

Это выражение является искомой зависимостью ЭДС от времени. Амплитудное, или максимальное, значение ЭДС $\mathcal{E}_{max}$ достигается, когда $\sin(\omega t)$ принимает максимальное значение, равное 1:

$\mathcal{E}_{max} = B \cdot S \cdot \omega$.

Подставим числовые значения для нахождения максимальной ЭДС:

$\mathcal{E}_{max} = 0,05 \text{ Тл} \cdot 0,004 \text{ м}^2 \cdot 100\pi \text{ рад/с} = 0,02\pi \text{ В}$.

Вычислим приближенное значение, используя $\pi \approx 3,14$:

$\mathcal{E}_{max} \approx 0,02 \cdot 3,14 \text{ В} \approx 0,0628 \text{ В} \approx 0,063 \text{ В}$.

Теперь запишем зависимость ЭДС от времени, подставив найденные значения амплитуды $\mathcal{E}_{max}$ и угловой частоты $\omega$:

$\mathcal{E}(t) = 0,02\pi \sin(100\pi t)$ (В).

Ответ: максимальная ЭДС, индуцируемая в рамке, $\mathcal{E}_{max} = 0,02\pi \text{ В} \approx 0,063 \text{ В}$; зависимость ЭДС от времени описывается уравнением $\mathcal{E}(t) = 0,02\pi \sin(100\pi t)$, где $\mathcal{E}$ измеряется в вольтах (В), а время $t$ — в секундах (с).

2. Найдите частоту вращения катушки с числом витков $N = 20$ в однородном магнитном поле с индукцией $B = 0,5 \text{ Тл}$, если максимальная ЭДС в катушке $E_m = 7,85 \text{ В}$, а площадь сечения одного витка $S = 25 \text{ см}^2$.

Дано:

$N = 20$

$B = 0,5 \text{ Тл}$

$\mathcal{E}_m = 7,85 \text{ В}$

$S = 25 \text{ см}^2$

$S = 25 \text{ см}^2 = 25 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 25 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0,0025 \text{ м}^2$

Найти:

$f$ - ?

Решение:

При вращении катушки в однородном магнитном поле магнитный поток, пронизывающий ее, изменяется со временем по закону:

$\Phi(t) = N \cdot B \cdot S \cdot \cos(\alpha)$

где $\alpha$ - угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и нормалью к плоскости витков катушки $\vec{n}$. При равномерном вращении с угловой частотой $\omega$, этот угол изменяется как $\alpha = \omega t$. Тогда:

$\Phi(t) = N \cdot B \cdot S \cdot \cos(\omega t)$

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, ЭДС индукции, возникающая в катушке, равна скорости изменения магнитного потока, взятой с обратным знаком:

$\mathcal{E}(t) = -\frac{d\Phi}{dt} = - \frac{d}{dt}(N \cdot B \cdot S \cdot \cos(\omega t))$

Вычисляя производную, получаем:

$\mathcal{E}(t) = -NBS(-\omega \sin(\omega t)) = N \cdot B \cdot S \cdot \omega \cdot \sin(\omega t)$

Максимальное значение ЭДС (амплитудное значение) $\mathcal{E}_m$ достигается, когда $\sin(\omega t)$ принимает максимальное значение, равное 1. Следовательно, максимальная ЭДС равна:

$\mathcal{E}_m = N \cdot B \cdot S \cdot \omega$

Угловая частота $\omega$ связана с линейной частотой вращения $f$ (числом оборотов в секунду) соотношением:

$\omega = 2\pi f$

Подставим это выражение в формулу для максимальной ЭДС:

$\mathcal{E}_m = N \cdot B \cdot S \cdot 2\pi f$

Выразим из этой формулы искомую частоту вращения $f$:

$f = \frac{\mathcal{E}_m}{2\pi \cdot N \cdot B \cdot S}$

Подставим числовые значения в систему СИ (примем $\pi \approx 3,14$):

$f = \frac{7,85 \text{ В}}{2 \cdot 3,14 \cdot 20 \cdot 0,5 \text{ Тл} \cdot 0,0025 \text{ м}^2}$

Выполним вычисления:

$f = \frac{7,85}{6,28 \cdot 20 \cdot 0,5 \cdot 0,0025} = \frac{7,85}{6,28 \cdot 10 \cdot 0,0025} = \frac{7,85}{6,28 \cdot 0,025} = \frac{7,85}{0,157} = 50 \text{ Гц}$

Ответ: частота вращения катушки равна $50 \text{ Гц}$.

3. Ротор генератора переменного тока, представляющий из себя катушку, содержащую $N = 10$ витков, каждый площадью $S = 1200\text{ см}^2$, вращается с постоянной частотой $\nu = 50\text{ Гц}$ в магнитном поле с индукцией $B = 0,58\text{ Тл}$. Найдите максимальную ЭДС, индуцируемую в обмотке ротора.

Дано:

Число витков, $N = 10$

Площадь витка, $S = 1200 \text{ см}^2$

Частота вращения, $\nu = 50 \text{ Гц}$

Индукция магнитного поля, $B = 0,58 \text{ Тл}$

Переведем данные в систему СИ:

$S = 1200 \text{ см}^2 = 1200 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 1200 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0,12 \text{ м}^2$

Найти:

Максимальную ЭДС, $\mathcal{E}_{max}$

Решение:

При вращении катушки в однородном магнитном поле магнитный поток $\Phi$, пронизывающий все $N$ витков катушки, изменяется со временем по закону:

$\Phi(t) = N \cdot B \cdot S \cdot \cos(\alpha)$

где $\alpha$ — угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и нормалью к плоскости витков. Поскольку катушка вращается с постоянной частотой $\nu$, угол $\alpha$ изменяется линейно со временем: $\alpha = \omega t$, где $\omega$ — угловая частота вращения.

Угловая частота связана с линейной частотой $\nu$ соотношением:

$\omega = 2 \pi \nu$

Следовательно, зависимость магнитного потока от времени имеет вид:

$\Phi(t) = N \cdot B \cdot S \cdot \cos(\omega t)$

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, ЭДС индукции $\mathcal{E}$, возникающая в катушке, равна скорости изменения магнитного потока, взятой со знаком минус:

$\mathcal{E}(t) = - \frac{d\Phi}{dt}$

Найдем производную от магнитного потока по времени, чтобы найти мгновенное значение ЭДС:

$\mathcal{E}(t) = - \frac{d}{dt}(N \cdot B \cdot S \cdot \cos(\omega t)) = - N \cdot B \cdot S \cdot (-\omega \sin(\omega t)) = N \cdot B \cdot S \cdot \omega \cdot \sin(\omega t)$

Это уравнение показывает, что ЭДС индукции изменяется по синусоидальному закону. Максимальное (амплитудное) значение ЭДС $\mathcal{E}_{max}$ достигается, когда $\sin(\omega t)$ равен 1. Таким образом, максимальная ЭДС равна:

$\mathcal{E}_{max} = N \cdot B \cdot S \cdot \omega$

Подставив выражение для угловой частоты $\omega = 2 \pi \nu$, получим окончательную формулу для расчета:

$\mathcal{E}_{max} = N \cdot B \cdot S \cdot 2 \pi \nu$

Подставим числовые значения в систему СИ и произведем вычисления:

$\mathcal{E}_{max} = 10 \cdot 0,58 \text{ Тл} \cdot 0,12 \text{ м}^2 \cdot 2 \cdot \pi \cdot 50 \text{ Гц}$

$\mathcal{E}_{max} = 10 \cdot 0,58 \cdot 0,12 \cdot 100 \pi = 69,6 \pi \text{ В}$

Принимая значение $\pi \approx 3,14159$, получаем:

$\mathcal{E}_{max} \approx 69,6 \cdot 3,14159 \approx 218,65 \text{ В}$

Округлив до целого числа, получаем:

$\mathcal{E}_{max} \approx 219 \text{ В}$

Ответ: максимальная ЭДС, индуцируемая в обмотке ротора, составляет приблизительно $219 \text{ В}$.