Номер 2, страница 89 - гдз по физике 11 класс учебник Касьянов

Задачи. § 26. Генерирование переменного электрического тока. Глава 3. Электромагнетизм - номер 2, страница 89.

2. Найдите частоту вращения катушки с числом витков $N = 20$ в однородном магнитном поле с индукцией $B = 0,5 \text{ Тл}$, если максимальная ЭДС в катушке $E_m = 7,85 \text{ В}$, а площадь сечения одного витка $S = 25 \text{ см}^2$.

Дано:

$N = 20$

$B = 0,5 \text{ Тл}$

$\mathcal{E}_m = 7,85 \text{ В}$

$S = 25 \text{ см}^2$

$S = 25 \text{ см}^2 = 25 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 25 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0,0025 \text{ м}^2$

Найти:

$f$ - ?

Решение:

При вращении катушки в однородном магнитном поле магнитный поток, пронизывающий ее, изменяется со временем по закону:

$\Phi(t) = N \cdot B \cdot S \cdot \cos(\alpha)$

где $\alpha$ - угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и нормалью к плоскости витков катушки $\vec{n}$. При равномерном вращении с угловой частотой $\omega$, этот угол изменяется как $\alpha = \omega t$. Тогда:

$\Phi(t) = N \cdot B \cdot S \cdot \cos(\omega t)$

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, ЭДС индукции, возникающая в катушке, равна скорости изменения магнитного потока, взятой с обратным знаком:

$\mathcal{E}(t) = -\frac{d\Phi}{dt} = - \frac{d}{dt}(N \cdot B \cdot S \cdot \cos(\omega t))$

Вычисляя производную, получаем:

$\mathcal{E}(t) = -NBS(-\omega \sin(\omega t)) = N \cdot B \cdot S \cdot \omega \cdot \sin(\omega t)$

Максимальное значение ЭДС (амплитудное значение) $\mathcal{E}_m$ достигается, когда $\sin(\omega t)$ принимает максимальное значение, равное 1. Следовательно, максимальная ЭДС равна:

$\mathcal{E}_m = N \cdot B \cdot S \cdot \omega$

Угловая частота $\omega$ связана с линейной частотой вращения $f$ (числом оборотов в секунду) соотношением:

$\omega = 2\pi f$

Подставим это выражение в формулу для максимальной ЭДС:

$\mathcal{E}_m = N \cdot B \cdot S \cdot 2\pi f$

Выразим из этой формулы искомую частоту вращения $f$:

$f = \frac{\mathcal{E}_m}{2\pi \cdot N \cdot B \cdot S}$

Подставим числовые значения в систему СИ (примем $\pi \approx 3,14$):

$f = \frac{7,85 \text{ В}}{2 \cdot 3,14 \cdot 20 \cdot 0,5 \text{ Тл} \cdot 0,0025 \text{ м}^2}$

Выполним вычисления:

$f = \frac{7,85}{6,28 \cdot 20 \cdot 0,5 \cdot 0,0025} = \frac{7,85}{6,28 \cdot 10 \cdot 0,0025} = \frac{7,85}{6,28 \cdot 0,025} = \frac{7,85}{0,157} = 50 \text{ Гц}$

Ответ: частота вращения катушки равна $50 \text{ Гц}$.