Номер 1, страница 89 - гдз по физике 11 класс учебник Касьянов

Задачи. § 26. Генерирование переменного электрического тока. Глава 3. Электромагнетизм - номер 1, страница 89.

З А Д А Ч И

1. Прямоугольная рамка со сторонами $a = 5$ см и $b = 8$ см вращается вокруг вертикальной оси с периодом $T = 0,02$ с в однородном магнитном поле с индукцией $B = 0,05$ Тл, направленной перпендикулярно оси вращения. Найдите максимальную ЭДС, индуцируемую в рамке, и зависимость ЭДС от времени.

Дано:

$a = 5 \text{ см} = 0,05 \text{ м}$

$b = 8 \text{ см} = 0,08 \text{ м}$

$T = 0,02 \text{ с}$

$B = 0,05 \text{ Тл}$

Найти:

$\mathcal{E}_{max}$ - ?

$\mathcal{E}(t)$ - ?

Решение:

При вращении рамки в однородном магнитном поле магнитный поток, пронизывающий ее, изменяется со временем. Это изменение магнитного потока приводит к возникновению ЭДС индукции.

Магнитный поток $\Phi$ через контур определяется формулой:

$\Phi = B \cdot S \cdot \cos(\alpha)$,

где $S$ — площадь рамки, а $\alpha$ — угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и нормалью к плоскости рамки $\vec{n}$.

Площадь прямоугольной рамки:

$S = a \cdot b = 0,05 \text{ м} \cdot 0,08 \text{ м} = 0,004 \text{ м}^2$.

Рамка вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$. Угол $\alpha$ изменяется со временем по закону $\alpha(t) = \omega t$ (при условии, что в начальный момент времени $t=0$ нормаль к рамке совпадает с направлением магнитного поля).

Угловая скорость связана с периодом вращения $T$ соотношением:

$\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0,02 \text{ с}} = 100\pi \text{ рад/с}$.

Таким образом, зависимость магнитного потока от времени имеет вид:

$\Phi(t) = B \cdot S \cdot \cos(\omega t) = 0,05 \cdot 0,004 \cdot \cos(100\pi t) = 0,0002\cos(100\pi t) \text{ Вб}$.

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, ЭДС индукции $\mathcal{E}$, возникающая в рамке, равна скорости изменения магнитного потока, взятой с обратным знаком:

$\mathcal{E}(t) = -\frac{d\Phi(t)}{dt} = -\frac{d}{dt}(B S \cos(\omega t))$

$\mathcal{E}(t) = -B S (-\omega \sin(\omega t)) = B S \omega \sin(\omega t)$.

Это выражение является искомой зависимостью ЭДС от времени. Амплитудное, или максимальное, значение ЭДС $\mathcal{E}_{max}$ достигается, когда $\sin(\omega t)$ принимает максимальное значение, равное 1:

$\mathcal{E}_{max} = B \cdot S \cdot \omega$.

Подставим числовые значения для нахождения максимальной ЭДС:

$\mathcal{E}_{max} = 0,05 \text{ Тл} \cdot 0,004 \text{ м}^2 \cdot 100\pi \text{ рад/с} = 0,02\pi \text{ В}$.

Вычислим приближенное значение, используя $\pi \approx 3,14$:

$\mathcal{E}_{max} \approx 0,02 \cdot 3,14 \text{ В} \approx 0,0628 \text{ В} \approx 0,063 \text{ В}$.

Теперь запишем зависимость ЭДС от времени, подставив найденные значения амплитуды $\mathcal{E}_{max}$ и угловой частоты $\omega$:

$\mathcal{E}(t) = 0,02\pi \sin(100\pi t)$ (В).

Ответ: максимальная ЭДС, индуцируемая в рамке, $\mathcal{E}_{max} = 0,02\pi \text{ В} \approx 0,063 \text{ В}$; зависимость ЭДС от времени описывается уравнением $\mathcal{E}(t) = 0,02\pi \sin(100\pi t)$, где $\mathcal{E}$ измеряется в вольтах (В), а время $t$ — в секундах (с).