Номер 3, страница 89 - гдз по физике 11 класс учебник Касьянов

Задачи. § 26. Генерирование переменного электрического тока. Глава 3. Электромагнетизм - номер 3, страница 89.

3. Ротор генератора переменного тока, представляющий из себя катушку, содержащую $N = 10$ витков, каждый площадью $S = 1200\text{ см}^2$, вращается с постоянной частотой $\nu = 50\text{ Гц}$ в магнитном поле с индукцией $B = 0,58\text{ Тл}$. Найдите максимальную ЭДС, индуцируемую в обмотке ротора.

Дано:

Число витков, $N = 10$

Площадь витка, $S = 1200 \text{ см}^2$

Частота вращения, $\nu = 50 \text{ Гц}$

Индукция магнитного поля, $B = 0,58 \text{ Тл}$

Переведем данные в систему СИ:

$S = 1200 \text{ см}^2 = 1200 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 1200 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0,12 \text{ м}^2$

Найти:

Максимальную ЭДС, $\mathcal{E}_{max}$

Решение:

При вращении катушки в однородном магнитном поле магнитный поток $\Phi$, пронизывающий все $N$ витков катушки, изменяется со временем по закону:

$\Phi(t) = N \cdot B \cdot S \cdot \cos(\alpha)$

где $\alpha$ — угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и нормалью к плоскости витков. Поскольку катушка вращается с постоянной частотой $\nu$, угол $\alpha$ изменяется линейно со временем: $\alpha = \omega t$, где $\omega$ — угловая частота вращения.

Угловая частота связана с линейной частотой $\nu$ соотношением:

$\omega = 2 \pi \nu$

Следовательно, зависимость магнитного потока от времени имеет вид:

$\Phi(t) = N \cdot B \cdot S \cdot \cos(\omega t)$

Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, ЭДС индукции $\mathcal{E}$, возникающая в катушке, равна скорости изменения магнитного потока, взятой со знаком минус:

$\mathcal{E}(t) = - \frac{d\Phi}{dt}$

Найдем производную от магнитного потока по времени, чтобы найти мгновенное значение ЭДС:

$\mathcal{E}(t) = - \frac{d}{dt}(N \cdot B \cdot S \cdot \cos(\omega t)) = - N \cdot B \cdot S \cdot (-\omega \sin(\omega t)) = N \cdot B \cdot S \cdot \omega \cdot \sin(\omega t)$

Это уравнение показывает, что ЭДС индукции изменяется по синусоидальному закону. Максимальное (амплитудное) значение ЭДС $\mathcal{E}_{max}$ достигается, когда $\sin(\omega t)$ равен 1. Таким образом, максимальная ЭДС равна:

$\mathcal{E}_{max} = N \cdot B \cdot S \cdot \omega$

Подставив выражение для угловой частоты $\omega = 2 \pi \nu$, получим окончательную формулу для расчета:

$\mathcal{E}_{max} = N \cdot B \cdot S \cdot 2 \pi \nu$

Подставим числовые значения в систему СИ и произведем вычисления:

$\mathcal{E}_{max} = 10 \cdot 0,58 \text{ Тл} \cdot 0,12 \text{ м}^2 \cdot 2 \cdot \pi \cdot 50 \text{ Гц}$

$\mathcal{E}_{max} = 10 \cdot 0,58 \cdot 0,12 \cdot 100 \pi = 69,6 \pi \text{ В}$

Принимая значение $\pi \approx 3,14159$, получаем:

$\mathcal{E}_{max} \approx 69,6 \cdot 3,14159 \approx 218,65 \text{ В}$

Округлив до целого числа, получаем:

$\mathcal{E}_{max} \approx 219 \text{ В}$

Ответ: максимальная ЭДС, индуцируемая в обмотке ротора, составляет приблизительно $219 \text{ В}$.