Номер 3, страница 176 - гдз по физике 11 класс учебник Касьянов

Вопросы. § 49. Теория атома водорода. Глава 6. Квантовая теория электромагнитного излучения и вещества - номер 3, страница 176.

3. Как квантуются радиусы стационарных орбит в атоме водорода?

Решение

Квантование радиусов стационарных орбит в атоме водорода является одним из ключевых положений модели атома, предложенной Нильсом Бором в 1913 году. Эта модель была создана для объяснения линейчатых спектров атомов и их устойчивости, что не удавалось сделать в рамках классической физики.

Согласно теории Бора, электрон в атоме водорода может двигаться не по любым, а только по определённым, так называемым стационарным или разрешённым орбитам. Находясь на такой орбите, электрон, несмотря на ускоренное движение, не излучает электромагнитную энергию.

Правило, которое определяет возможные радиусы этих орбит, выводится из постулата квантования момента импульса электрона. Бор предположил, что момент импульса электрона $L$ на стационарной орбите может принимать только дискретные значения, кратные постоянной Планка, делённой на $2\pi$ (приведённая постоянная Планка, $\hbar$):

$L = m_e v_n r_n = n \hbar$, где $n = 1, 2, 3, ...$

Здесь:

• $m_e$ — масса электрона,
• $v_n$ — скорость электрона на n-й орбите,
• $r_n$ — радиус n-й орбиты,
• $\hbar$ — приведённая постоянная Планка ($\hbar = h / 2\pi$),
• $n$ — главное квантовое число, которое может принимать любые целые положительные значения ($1, 2, 3, ...$) и нумерует стационарные орбиты.

Для вывода формулы для радиуса орбиты рассмотрим движение электрона вокруг протона (ядра атома водорода). На электрон действует кулоновская сила притяжения со стороны ядра, которая сообщает ему центростремительное ускорение:

$F_{кул} = F_{цс}$

$\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{r_n^2} = \frac{m_e v_n^2}{r_n}$

где:

• $e$ — элементарный заряд (модуль заряда электрона и протона),
• $\epsilon_0$ — электрическая постоянная.

Из этого уравнения можно выразить $m_e v_n^2$: $m_e v_n^2 = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r_n}$.

Из правила квантования момента импульса выразим скорость $v_n$:

$v_n = \frac{n \hbar}{m_e r_n}$

Теперь подставим это выражение для скорости в уравнение сил:

$\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{r_n^2} = \frac{m_e}{r_n} \left( \frac{n \hbar}{m_e r_n} \right)^2 = \frac{m_e}{r_n} \frac{n^2 \hbar^2}{m_e^2 r_n^2} = \frac{n^2 \hbar^2}{m_e r_n^3}$

Сокращая и преобразовывая, получаем выражение для радиуса n-й орбиты:

$\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0} = \frac{n^2 \hbar^2}{m_e r_n}$

$r_n = \frac{4\pi\epsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2} n^2$

Величина, стоящая перед $n^2$, является константой и представляет собой радиус первой (ближайшей к ядру) орбиты, когда $n=1$. Этот радиус называется боровским радиусом и обозначается $a_0$:

$a_0 = \frac{4\pi\epsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2} \approx 5.29 \times 10^{-11} \text{ м}$

Таким образом, радиусы стационарных орбит в атоме водорода квантуются следующим образом:

$r_n = a_0 \cdot n^2$, где $n=1, 2, 3, ...$

Это означает, что электрон может находиться только на орбитах, радиусы которых относятся как квадраты целых чисел: $r_1 = a_0$, $r_2 = 4a_0$, $r_3 = 9a_0$ и так далее. Существование электрона на орбитах с промежуточными радиусами невозможно.

Ответ:

Радиусы стационарных орбит в атоме водорода квантуются, то есть могут принимать только определённые дискретные значения. Эти значения пропорциональны квадрату главного квантового числа $n$ ($n = 1, 2, 3, ...$). Формула для радиуса n-й орбиты имеет вид:

$r_n = a_0 \cdot n^2$

где $a_0$ — боровский радиус, равный радиусу первой, самой низкой орбиты ($a_0 \approx 5.29 \times 10^{-11}$ м). Таким образом, возможные радиусы орбит относятся как $1:4:9:16: ...$.