Страница 176 - гдз по физике 11 класс учебник Касьянов

В О П Р О С Ы

1. Сформулируйте первый постулат Бора.

Сформулируйте первый постулат Бора.

Первый постулат Бора, также известный как постулат о стационарных состояниях, утверждает, что атомная система (например, атом) может длительное время существовать только в особых стационарных (или квантовых) состояниях. Каждому такому состоянию соответствует определённая энергия, и находясь в этом состоянии, атом не излучает электромагнитные волны.

Этот постулат был революционным, поскольку он противоречил законам классической электродинамики. Согласно классической теории, электрон, вращающийся вокруг ядра, движется с ускорением. Ускоренно движущийся заряд должен непрерывно излучать энергию в виде электромагнитных волн. Потеряв энергию, электрон должен был бы приблизиться к ядру и в конечном итоге упасть на него по спирали. Это означало бы, что атомы нестабильны, что противоречит наблюдаемой реальности.

Бор предположил, что для электронов в атоме существуют «разрешённые» орбиты, двигаясь по которым они, вопреки классическим законам, не теряют энергию. Эти состояния и называются стационарными. Энергия атома в этих состояниях ($E_1, E_2, E_3, \ldots$) принимает не любые, а строго определённые, дискретные значения.

Для водородоподобного атома условие, определяющее радиусы этих стационарных орбит (правило квантования Бора), заключается в том, что момент импульса электрона $L$ должен быть равен целому числу, умноженному на редуцированную постоянную Планка $\hbar$ (произносится «аш с чертой»):

$L_n = m_e v_n r_n = n \hbar$, где $n = 1, 2, 3, \dots$

В этой формуле: $m_e$ — масса электрона, $v_n$ — скорость электрона на $n$-й стационарной орбите, $r_n$ — радиус $n$-й стационарной орбиты, $n$ — целое число, называемое главным квантовым числом, и $\hbar = \frac{h}{2\pi}$ — редуцированная постоянная Планка, где $h$ — постоянная Планка.

Таким образом, первый постулат Бора вводит фундаментальное понятие квантования: физические величины, характеризующие состояние атомной системы (в частности, её энергия и момент импульса), могут принимать только определённый набор дискретных значений.

Ответ: Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний) гласит, что в атоме существуют особые стационарные состояния, каждому из которых соответствует определённое значение энергии. Находясь в этих стационарных состояниях, атом не излучает энергию.

2. Сформулируйте правило квантования.

Правило квантования, также известное как второй постулат Бора или правило квантования орбит, является одним из фундаментальных положений модели атома Бора. Оно было предложено Нильсом Бором в 1913 году для объяснения стабильности атомов и дискретного характера их спектров излучения и поглощения.

Согласно этому правилу, в атоме электрон может двигаться не по любым, а только по определённым, так называемым стационарным (или разрешённым) орбитам. Находясь на этих орбитах, электрон, несмотря на своё ускоренное движение, не излучает электромагнитную энергию.

Стационарными являются те орбиты, для которых момент импульса (угловой момент) электрона $L$ является целым кратным величине $\hbar$ (редуцированная постоянная Планка). Математически это правило записывается в виде формулы:

$L = m_e v r = n \hbar$

где $L$ – модуль момента импульса электрона; $m_e$ – масса электрона; $v$ – скорость электрона на орбите; $r$ – радиус орбиты; $n$ – главное квантовое число, которое может принимать любые целые положительные значения ($n = 1, 2, 3, \ldots$); $\hbar$ – редуцированная постоянная Планка (постоянная Дирака), равная $\hbar = \frac{h}{2\pi}$, где $h$ – постоянная Планка.

Таким образом, момент импульса электрона в атоме квантуется, то есть может принимать только дискретные, определённые значения. Каждому значению $n$ соответствует своя разрешённая орбита с определённым радиусом и определённой энергией. Это правило позволило Бору вычислить радиусы стационарных орбит и энергетические уровни для атома водорода, которые хорошо совпали с экспериментальными данными.

Ответ: Правило квантования (второй постулат Бора) утверждает, что электрон в атоме может двигаться только по таким стационарным орбитам, для которых его момент импульса $L$ кратен редуцированной постоянной Планка $\hbar$: $L = n \hbar$, где $n$ – целое положительное число ($n=1, 2, 3, \ldots$).

3. Как квантуются радиусы стационарных орбит в атоме водорода?

Решение

Квантование радиусов стационарных орбит в атоме водорода является одним из ключевых положений модели атома, предложенной Нильсом Бором в 1913 году. Эта модель была создана для объяснения линейчатых спектров атомов и их устойчивости, что не удавалось сделать в рамках классической физики.

Согласно теории Бора, электрон в атоме водорода может двигаться не по любым, а только по определённым, так называемым стационарным или разрешённым орбитам. Находясь на такой орбите, электрон, несмотря на ускоренное движение, не излучает электромагнитную энергию.

Правило, которое определяет возможные радиусы этих орбит, выводится из постулата квантования момента импульса электрона. Бор предположил, что момент импульса электрона $L$ на стационарной орбите может принимать только дискретные значения, кратные постоянной Планка, делённой на $2\pi$ (приведённая постоянная Планка, $\hbar$):

$L = m_e v_n r_n = n \hbar$, где $n = 1, 2, 3, ...$

Здесь:

• $m_e$ — масса электрона,
• $v_n$ — скорость электрона на n-й орбите,
• $r_n$ — радиус n-й орбиты,
• $\hbar$ — приведённая постоянная Планка ($\hbar = h / 2\pi$),
• $n$ — главное квантовое число, которое может принимать любые целые положительные значения ($1, 2, 3, ...$) и нумерует стационарные орбиты.

Для вывода формулы для радиуса орбиты рассмотрим движение электрона вокруг протона (ядра атома водорода). На электрон действует кулоновская сила притяжения со стороны ядра, которая сообщает ему центростремительное ускорение:

$F_{кул} = F_{цс}$

$\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{r_n^2} = \frac{m_e v_n^2}{r_n}$

где:

• $e$ — элементарный заряд (модуль заряда электрона и протона),
• $\epsilon_0$ — электрическая постоянная.

Из этого уравнения можно выразить $m_e v_n^2$: $m_e v_n^2 = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0 r_n}$.

Из правила квантования момента импульса выразим скорость $v_n$:

$v_n = \frac{n \hbar}{m_e r_n}$

Теперь подставим это выражение для скорости в уравнение сил:

$\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{r_n^2} = \frac{m_e}{r_n} \left( \frac{n \hbar}{m_e r_n} \right)^2 = \frac{m_e}{r_n} \frac{n^2 \hbar^2}{m_e^2 r_n^2} = \frac{n^2 \hbar^2}{m_e r_n^3}$

Сокращая и преобразовывая, получаем выражение для радиуса n-й орбиты:

$\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0} = \frac{n^2 \hbar^2}{m_e r_n}$

$r_n = \frac{4\pi\epsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2} n^2$

Величина, стоящая перед $n^2$, является константой и представляет собой радиус первой (ближайшей к ядру) орбиты, когда $n=1$. Этот радиус называется боровским радиусом и обозначается $a_0$:

$a_0 = \frac{4\pi\epsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2} \approx 5.29 \times 10^{-11} \text{ м}$

Таким образом, радиусы стационарных орбит в атоме водорода квантуются следующим образом:

$r_n = a_0 \cdot n^2$, где $n=1, 2, 3, ...$

Это означает, что электрон может находиться только на орбитах, радиусы которых относятся как квадраты целых чисел: $r_1 = a_0$, $r_2 = 4a_0$, $r_3 = 9a_0$ и так далее. Существование электрона на орбитах с промежуточными радиусами невозможно.

Ответ:

Радиусы стационарных орбит в атоме водорода квантуются, то есть могут принимать только определённые дискретные значения. Эти значения пропорциональны квадрату главного квантового числа $n$ ($n = 1, 2, 3, ...$). Формула для радиуса n-й орбиты имеет вид:

$r_n = a_0 \cdot n^2$

где $a_0$ — боровский радиус, равный радиусу первой, самой низкой орбиты ($a_0 \approx 5.29 \times 10^{-11}$ м). Таким образом, возможные радиусы орбит относятся как $1:4:9:16: ...$.

4. Как квантуется энергия электрона в атоме водорода? Чему равна энергия электрона в основном состоянии атома?

Как квантуется энергия электрона в атоме водорода?

Согласно постулатам Бора, энергия электрона в атоме водорода квантуется, то есть может принимать только определённые дискретные (прерывные) значения. Электрон может находиться только на определённых стационарных орбитах, каждой из которых соответствует свой строго определённый энергетический уровень. Находясь на такой орбите, электрон не излучает энергию.

Энергетические уровни электрона в атоме водорода определяются главным квантовым числом $n$, которое может принимать любые целые значения, начиная с 1 ($n = 1, 2, 3, \dots$). Энергия на $n$-ом уровне вычисляется по формуле:

$E_n = - \frac{E_0}{n^2}$

где $E_0$ — энергия ионизации атома водорода, равная примерно $13.6$ эВ (электронвольт). Эту же формулу можно выразить через фундаментальные константы:

$E_n = - \frac{m_e e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^2 n^2}$

где:

$m_e$ — масса электрона,

$e$ — элементарный заряд,

$\varepsilon_0$ — электрическая постоянная,

$h$ — постоянная Планка,

$n$ — главное квантовое число.

Знак минус в формуле означает, что электрон является связанным с ядром. Чтобы удалить электрон из атома (ионизировать его), необходимо сообщить ему энергию, не меньшую, чем $|E_n|$. За нулевой уровень энергии ($E=0$) принимается состояние, когда электрон бесконечно удалён от ядра ($n \rightarrow \infty$).

Ответ: Энергия электрона в атоме водорода квантуется, то есть может принимать только дискретный ряд значений $E_n$, которые обратно пропорциональны квадрату главного квантового числа $n$: $E_n = - \frac{E_0}{n^2}$, где $E_0 \approx 13.6$ эВ, а $n=1, 2, 3, \dots$ .

Чему равна энергия электрона в основном состоянии атома?

Основное состояние атома — это состояние с наименьшей возможной энергией. Для атома водорода это состояние соответствует минимальному значению главного квантового числа, то есть $n=1$.

Дано:

Главное квантовое число для основного состояния: $n = 1$

Энергия ионизации (постоянная Ридберга в энергетических единицах): $E_0 \approx 13.6$ эВ

Перевод в СИ:

$1 \text{ эВ} \approx 1.602 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}$

$E_0 \approx 13.6 \text{ эВ} \approx 13.6 \cdot 1.602 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} \approx 2.18 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}$

Найти:

Энергию электрона в основном состоянии $E_1$.

Решение:

Воспользуемся формулой для энергетических уровней электрона в атоме водорода:

$E_n = - \frac{E_0}{n^2}$

Подставим в формулу значение главного квантового числа для основного состояния $n=1$:

$E_1 = - \frac{E_0}{1^2} = -E_0$

Теперь подставим числовое значение энергии ионизации $E_0 \approx 13.6$ эВ:

$E_1 \approx -13.6$ эВ

Выразим эту энергию в джоулях (система СИ):

$E_1 \approx -2.18 \cdot 10^{-18}$ Дж

Ответ: Энергия электрона в основном состоянии атома водорода равна приблизительно $-13.6$ эВ (электронвольт), что в системе СИ составляет около $-2.18 \cdot 10^{-18}$ Дж.

5. Какие энергетические состояния электрона в атоме называют связанными; свободными? Кратко охарактеризуйте их.

Энергетические состояния электрона в атоме делятся на два типа в зависимости от его полной энергии и характера связи с ядром.

Связанные состояния

Связанными называют такие состояния, в которых электрон находится под действием притягивающего поля ядра и является частью атома. Он не может самопроизвольно покинуть атом. Для того чтобы электрон перешел в свободное состояние, ему необходимо сообщить дополнительную энергию, равную или большую энергии ионизации.

Краткая характеристика:

1. Полная энергия электрона в связанном состоянии отрицательна ($E < 0$). Условно принимается, что потенциальная энергия электрона, бесконечно удаленного от ядра, равна нулю. Отрицательное значение полной энергии означает, что система "ядро-электрон" является устойчивой, и для разрыва этой связи нужно совершить работу.
2. Энергия электрона квантована, то есть может принимать только определенные, дискретные значения. Эти значения соответствуют стационарным энергетическим уровням (орбиталям) в атоме.
3. Электрон локализован в пространстве. Это означает, что вероятность его обнаружения максимальна в некоторой ограниченной области вблизи ядра.

Ответ: Связанными называют состояния электрона в атоме, в которых он притягивается ядром, имеет отрицательную полную энергию ($E < 0$) и может существовать только на дискретных (квантованных) энергетических уровнях.

Свободные состояния

Свободными называют такие состояния, в которых электрон не связан с каким-либо конкретным атомом и может свободно перемещаться в пространстве. Это происходит, когда полная энергия электрона достаточна для преодоления кулоновского притяжения ядра.

Краткая характеристика:

1. Полная энергия свободного электрона является положительной или равной нулю ($E \ge 0$). Если $E = 0$, электрон покинул атом, но не имеет избыточной кинетической энергии. Если $E > 0$, электрон не только покинул атом, но и движется с некоторой кинетической энергией.
2. Энергетический спектр свободного электрона является непрерывным. Это означает, что его энергия может принимать любое значение в диапазоне от нуля и выше.
3. Электрон не локализован. Он движется как свободная волна (волновой пакет) и не привязан к конкретной точке в пространстве.

Ответ: Свободными называют состояния электрона, в которых он не связан с атомом, имеет неотрицательную полную энергию ($E \ge 0$) и может обладать любой энергией из непрерывного спектра.