Страница 170 - гдз по физике 11 класс учебник Касьянов

В О П Р О С Ы

1. В чём состоит гипотеза де Бройля?

В чём состоит гипотеза де Бройля?

Решение

Гипотеза де Бройля, выдвинутая французским физиком Луи де Бройлем в 1923–1924 годах, является одним из фундаментальных положений квантовой механики. Она постулирует универсальность корпускулярно-волнового дуализма. Суть гипотезы заключается в том, что любой материальный объект, а не только фотоны, обладает как корпускулярными (свойствами частицы), так и волновыми свойствами.

До де Бройля было известно, что свет проявляет двойственную природу: в одних явлениях (например, интерференция, дифракция) он ведет себя как электромагнитная волна, а в других (например, фотоэффект) — как поток частиц (фотонов). Де Бройль предположил, что эта двойственность присуща не только свету, но и всем без исключения частицам материи — электронам, протонам, атомам и даже макроскопическим телам.

Согласно этой гипотезе, с каждой движущейся частицей, обладающей импульсом $p$, связана волна, которую называют волной де Бройля. Длина этой волны $\lambda$ определяется соотношением:

где:

• $\lambda$ — длина волны де Бройля,
• $h$ — постоянная Планка (приблизительно $6.626 \times 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}$),
• $p$ — импульс частицы ($p = mv$, где $m$ — масса частицы, а $v$ — её скорость).

Из этой формулы следует, что чем больше масса и скорость частицы (т.е. чем больше её импульс), тем короче соответствующая ей длина волны.

• Для макроскопических объектов (например, летящий мяч) масса велика, поэтому длина волны де Бройля оказывается пренебрежимо малой, и их волновые свойства невозможно обнаружить экспериментально.
• Для микрочастиц (например, электронов) масса очень мала. Даже при высоких скоростях их импульс достаточно мал, чтобы длина волны де Бройля была сопоставима с размерами атомов или межкристаллическими расстояниями. Это делает возможным наблюдение волновых явлений, таких как дифракция и интерференция электронов.

Гипотеза де Бройля была блестяще подтверждена экспериментально в 1927 году американскими физиками Клинтоном Дэвиссоном и Лестером Джермером, а также независимо английским физиком Джорджем Томсоном, которые наблюдали дифракцию электронов на кристаллах никеля. Это открытие стало решающим доказательством волновой природы материи и легло в основу создания квантовой механики.

Ответ: Гипотеза де Бройля утверждает, что все материальные объекты, от элементарных частиц до макроскопических тел, обладают волновыми свойствами. Каждой движущейся частице с импульсом $p$ сопоставляется волна с длиной $\lambda = h/p$, где $h$ — постоянная Планка.

2. Чему равна длина волны де Бройля?

Гипотеза де Бройля, выдвинутая французским физиком Луи де Бройлем в 1923-1924 годах, утверждает, что все без исключения объекты материи обладают волновыми свойствами. Это явление известно как корпускулярно-волновой дуализм. Любой движущейся частице с импульсом сопоставляется волна, которую называют волной де Бройля.

Длина этой волны, называемая длиной волны де Бройля, определяется как отношение постоянной Планка к импульсу частицы. Формула для расчёта длины волны де Бройля имеет вид:

$\lambda = \frac{h}{p}$

В этой формуле:

$\lambda$ (лямбда) — это длина волны де Бройля в метрах (м);

$h$ — это постоянная Планка, фундаментальная константа в квантовой механике, значение которой составляет приблизительно $6.626 \times 10^{-34}$ Дж∙с;

$p$ — это импульс частицы в килограмм-метрах в секунду (кг·м/с).

Импульс нерелятивистской частицы (скорость которой значительно меньше скорости света) вычисляется как произведение её массы $m$ на скорость $v$:

$p = mv$

Подставив это выражение в основную формулу, получим:

$\lambda = \frac{h}{mv}$

Эта формула показывает, что длина волны де Бройля обратно пропорциональна массе и скорости частицы. Для макроскопических объектов (например, летящего мяча) масса и скорость велики, поэтому длина волны оказывается ничтожно малой и её невозможно зафиксировать. Однако для микрочастиц, таких как электроны, протоны или нейтроны, волновые свойства становятся существенными, поскольку их масса мала, и соответствующие им длины волн сравнимы с размерами атомов, что приводит к наблюдаемым явлениям дифракции и интерференции.

Ответ: Длина волны де Бройля ($\lambda$) — это характеристика волновых свойств любой движущейся частицы. Она обратно пропорциональна импульсу частицы ($p$) и вычисляется по формуле $\lambda = \frac{h}{p}$, где $h$ — постоянная Планка. Для частицы массой $m$, движущейся со скоростью $v$, формула выглядит как $\lambda = \frac{h}{mv}$.

3. Какие эксперименты подтверждают наличие волновых свойств у микрочастиц?

Наличие волновых свойств у микрочастиц, таких как электроны, протоны, нейтроны и даже целые атомы и молекулы, является одним из фундаментальных положений квантовой механики. Эта концепция известна как корпускулярно-волновой дуализм. В 1924 году французский физик Луи де Бройль выдвинул гипотезу, что любая движущаяся частица обладает волновыми свойствами, и ее длина волны $\lambda$ связана с ее импульсом $p$ соотношением:

$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$

где $h$ — постоянная планка, $m$ — масса частицы, а $v$ — ее скорость. Эта революционная идея была подтверждена рядом ключевых экспериментов.

Эксперимент Дэвиссона и Джермера (1927 г.)

Это был первый эксперимент, напрямую подтвердивший гипотезу де Бройля. Американские физики Клинтон Дэвиссон и Лестер Джермер исследовали рассеяние пучка электронов на поверхности монокристалла никеля. Они обнаружили, что электроны рассеиваются не хаотично, а преимущественно в определенных направлениях. Угловое распределение рассеянных электронов имело ярко выраженные максимумы и минимумы, что является характерной картиной дифракции волн.

Кристаллическая решетка никеля сыграла роль естественной дифракционной решетки для электронных волн. Зная параметры решетки и энергию электронов (а значит, и их импульс), Дэвиссон и Джермер смогли рассчитать длину волны, которая должна была бы вызвать наблюдаемую дифракционную картину. Полученное экспериментальное значение длины волны в точности совпало со значением, предсказанным по формуле де Бройля.

Эксперимент Джорджа Томсона (1927 г.)

Практически одновременно и независимо от Дэвиссона и Джермера, английский физик Джордж Паджет Томсон провел свой эксперимент. Он пропускал пучок электронов с высокой энергией через тонкую поликристаллическую фольгу из золота, серебра или алюминия. На фотопластинке, расположенной за фольгой, он получил картину из концентрических колец.

Такая картина (дебаевские кольца) характерна для дифракции рентгеновских лучей на поликристаллических образцах. Каждый кристаллик в фольге ориентирован случайным образом, и дифракция на них создает конусы рассеянного излучения, которые на плоской пластине выглядят как кольца. Этот эксперимент также убедительно доказал, что электроны ведут себя как волны. За это открытие Дэвиссон и Томсон получили Нобелевскую премию по физике в 1937 году.

Двухщелевой эксперимент с электронами

Этот эксперимент является одной из самых наглядных и фундаментальных демонстраций волновой природы частиц. В нем пучок электронов направляется на экран с двумя близко расположенными щелями. За экраном находится детектор, регистрирующий, куда попадают электроны.

Когда обе щели открыты, на детекторе образуется интерференционная картина — чередование полос с высокой и низкой интенсивностью попадания электронов. Это классический результат для волн, которые проходят через обе щели одновременно и интерферируют друг с другом. Самое поразительное, что эта картина образуется даже в том случае, если электроны посылаются по одному. Это означает, что каждый отдельный электрон ведет себя как волна, проходит через обе щели одновременно и интерферирует сам с собой. Если же попытаться определить, через какую именно щель пролетел электрон, интерференционная картина исчезает, что демонстрирует принцип дополнительности.

Эксперименты с другими частицами

Волновые свойства были обнаружены не только у электронов. Аналогичные эксперименты по дифракции и интерференции были успешно проведены с другими частицами:

• Нейтроны: Дифракция нейтронов на кристаллах является стандартным методом для изучения структуры материалов (нейтронография).
• Атомы и молекулы: Была продемонстрирована дифракция и интерференция пучков атомов гелия, натрия и даже крупных органических молекул, таких как фуллерены (C₆₀). Эксперименты с фуллеренами, проведенные группой Антона Цайлингера в 1999 году, показали, что даже объекты, состоящие из десятков атомов, подчиняются законам квантовой механики и проявляют волновые свойства.

Эти эксперименты неопровержимо доказывают универсальность принципа корпускулярно-волнового дуализма для всех объектов микромира.

Ответ: Эксперименты, подтверждающие наличие волновых свойств у микрочастиц, включают: эксперимент Дэвиссона и Джермера по дифракции электронов на кристалле никеля; эксперимент Дж. П. Томсона по дифракции электронов на поликристаллической фольге; двухщелевой эксперимент с электронами (и другими частицами), демонстрирующий интерференцию; а также эксперименты по дифракции нейтронов, атомов и крупных молекул (например, фуллеренов).

4. Получите и сформулируйте соотношение неопределённостей Гейзенберга для времени и энергии.

Решение

Соотношение неопределенностей Гейзенберга для времени и энергии устанавливает фундаментальный предел на точность, с которой можно одновременно определить энергию квантовой системы и временной интервал, связанный с изменением этой системы. В отличие от соотношения для координаты и импульса, его вывод и интерпретация имеют свои особенности, поскольку время в стандартной (нерелятивистской) квантовой механике является параметром, а не оператором.

Получение (вывод) соотношения

Существует несколько способов получить это соотношение. Приведем два из них.

Способ 1: На основе соотношения для координаты и импульса.

Исходным является соотношение неопределенностей для координаты $x$ и проекции импульса $p_x$:

где $\hbar$ – приведенная постоянная Планка.

Рассмотрим частицу, движущуюся вдоль оси $x$. Неопределенность ее положения $\Delta x$ можно связать с характерным временем $\Delta t$, в течение которого она проходит это расстояние. Если $v_x$ – скорость частицы, то $\Delta x \approx v_x \Delta t$. Стоит отметить, что $\Delta t$ здесь – это не неопределенность момента времени, а временной интервал, за который состояние системы заметно меняется.

Свяжем неопределенность энергии $\Delta E$ с неопределенностью импульса $\Delta p_x$. Энергия частицы (кинетическая) равна $E = \frac{p_x^2}{2m}$. Для малого изменения импульса $\Delta p_x$ соответствующее изменение энергии $\Delta E$ можно оценить как:

Отсюда $\Delta p_x \approx \frac{\Delta E}{v_x}$.

Подставим выражения для $\Delta x$ и $\Delta p_x$ в исходное соотношение неопределенностей:

Сократив скорость $v_x$, получаем искомое соотношение:

Способ 2: На основе волновых пакетов.

Любое квантовое состояние можно представить как суперпозицию (волновой пакет) стационарных состояний (плоских волн) с различными частотами $\omega$. Из теории сигналов и преобразования Фурье известно, что для волнового пакета, имеющего длительность $\Delta t$, характерен разброс (неопределенность) по частотам $\Delta \omega$, связанный соотношением:

Согласно квантовой гипотезе Планка, энергия кванта связана с его циклической частотой соотношением $E = \hbar \omega$. Следовательно, неопределенность энергии связана с неопределенностью частоты как $\Delta E = \hbar \Delta \omega$.

Подставив $\Delta \omega = \frac{\Delta E}{\hbar}$ в соотношение для волнового пакета, получаем:

Откуда следует соотношение неопределенностей для энергии и времени:

Сформулированное соотношение и его физический смысл

Соотношение неопределенностей Гейзенберга для энергии и времени формулируется следующим образом: Произведение неопределенности энергии квантовой системы $\Delta E$ на характерное время $\Delta t$, в течение которого эта система претерпевает существенное изменение, не может быть по порядку величины меньше приведенной постоянной Планка $\hbar$.

Математически это записывается как:

Здесь $\Delta E$ – среднеквадратичное отклонение энергии, а $\Delta t$ – это время, за которое среднее значение некоторой наблюдаемой величины (не коммутирующей с энергией) изменяется на величину своего среднеквадратичного отклонения.

Это соотношение имеет несколько важных физических интерпретаций:

1. Время жизни и ширина энергетического уровня: Если квантовая система находится в нестабильном (возбужденном) состоянии с конечным временем жизни $\tau$, то это время можно рассматривать как неопределенность времени ее существования, $\Delta t \approx \tau$. Тогда энергия этого состояния не может быть определена точно, она имеет неопределенность (ширину уровня) $\Delta E \ge \frac{\hbar}{2\tau}$. Чем меньше время жизни состояния, тем больше разброс его энергии. Это проявляется, например, в уширении спектральных линий, испускаемых атомами.

2. Время измерения энергии: Для того чтобы измерить энергию системы с точностью $\Delta E$, процесс измерения должен длиться не менее чем $\Delta t \ge \frac{\hbar}{2\Delta E}$. Быстрое измерение неизбежно приведет к большой неопределенности в значении энергии.

3. Закон сохранения энергии в виртуальных процессах: Соотношение неопределенностей позволяет на короткое время $\Delta t$ "нарушать" закон сохранения энергии на величину $\Delta E \sim \hbar/\Delta t$. Это лежит в основе концепции виртуальных частиц, которые могут рождаться и исчезать за очень короткие промежутки времени, недоступные для прямого наблюдения.

Ответ:

Соотношение неопределенностей Гейзенберга для времени и энергии устанавливает фундаментальную связь между неопределенностью энергии $\Delta E$ системы и характерным временем $\Delta t$ эволюции ее состояния. Оно выводится либо на основе соотношения для координаты и импульса, либо из общих свойств волновых пакетов и имеет вид:

где $\hbar$ — приведенная постоянная Планка. Физический смысл соотношения заключается в том, что:

1) Чем меньше время жизни $\tau$ нестабильного состояния (для которого $\Delta t = \tau$), тем больше неопределенность (ширина) его энергетического уровня $\Delta E$.

2) Для измерения энергии с точностью $\Delta E$ требуется время измерения не менее $\Delta t \ge \frac{\hbar}{2\Delta E}$.

5. Какой принципиальный вывод следует из соотношений неопределённостей Гейзенберга?

Решение

Соотношение неопределенностей Гейзенберга — это фундаментальный принцип квантовой механики, который утверждает, что невозможно одновременно с произвольно высокой точностью определить значения некоторых пар физических величин, характеризующих систему. Эти пары величин называются канонически сопряженными.

Наиболее известными являются соотношения для координаты и импульса, а также для энергии и времени.

1. Для координаты x и соответствующей проекции импульса p_x соотношение выглядит так:

$ \Delta x \cdot \Delta p_x \ge \frac{\hbar}{2} $

Здесь $ \Delta x $ — неопределенность (стандартное отклонение) в измерении координаты, $ \Delta p_x $ — неопределенность в измерении импульса, а $ \hbar $ — это приведенная постоянная Планка ($ \hbar = h / (2\pi) $, где $h$ - постоянная Планка).

2. Для энергии E и времени t:

$ \Delta E \cdot \Delta t \ge \frac{\hbar}{2} $

Здесь $ \Delta E $ — неопределенность энергии состояния, а $ \Delta t $ — время жизни этого состояния.

Смысл этих неравенств заключается в том, что чем точнее мы определяем одну из сопряженных величин (например, уменьшаем $ \Delta x $ до нуля), тем больше становится неопределенность другой величины (в данном случае $ \Delta p_x $ стремится к бесконечности). Важно подчеркнуть, что эта неопределенность не связана с несовершенством измерительных приборов, а является неотъемлемым свойством самой природы, вытекающим из корпускулярно-волнового дуализма. Микрочастица не является классическим шариком, а описывается волновой функцией, которая одновременно содержит информацию и о ее положении, и о ее импульсе.

Из этого следует принципиальный вывод: в квантовой механике неприменимо классическое понятие траектории движения частицы. В классической физике траектория — это непрерывная линия, для задания которой необходимо в каждый момент времени знать и точную координату, и точный импульс (или скорость) тела. Принцип неопределенности запрещает одновременное точное знание этих двух величин. Следовательно, для микрочастицы (например, электрона в атоме) нельзя говорить о движении по определенной орбите, как для планеты вокруг Солнца. Вместо этого говорят о вероятности нахождения частицы в той или иной области пространства (электронное облако).

Таким образом, соотношение неопределенностей Гейзенберга устанавливает фундаментальную границу применимости классической физики и заменяет детерминистическое описание движения на вероятностное.

Ответ: Принципиальный вывод из соотношений неопределенностей Гейзенберга заключается в том, что для микрообъектов теряет смысл классическое понятие траектории, поскольку невозможно одновременно с абсолютной точностью определить и координату, и импульс частицы. Это фундаментальное свойство природы, а не ограничение измерительной техники.