Номер 4, страница 170 - гдз по физике 11 класс учебник Касьянов

Вопросы. § 47. Волновые свойства частиц. Глава 6. Квантовая теория электромагнитного излучения и вещества - номер 4, страница 170.

4. Получите и сформулируйте соотношение неопределённостей Гейзенберга для времени и энергии.

Решение

Соотношение неопределенностей Гейзенберга для времени и энергии устанавливает фундаментальный предел на точность, с которой можно одновременно определить энергию квантовой системы и временной интервал, связанный с изменением этой системы. В отличие от соотношения для координаты и импульса, его вывод и интерпретация имеют свои особенности, поскольку время в стандартной (нерелятивистской) квантовой механике является параметром, а не оператором.

Получение (вывод) соотношения

Существует несколько способов получить это соотношение. Приведем два из них.

Способ 1: На основе соотношения для координаты и импульса.

Исходным является соотношение неопределенностей для координаты $x$ и проекции импульса $p_x$:

$$ \Delta x \cdot \Delta p_x \ge \frac{\hbar}{2} $$

где $\hbar$ – приведенная постоянная Планка.

Рассмотрим частицу, движущуюся вдоль оси $x$. Неопределенность ее положения $\Delta x$ можно связать с характерным временем $\Delta t$, в течение которого она проходит это расстояние. Если $v_x$ – скорость частицы, то $\Delta x \approx v_x \Delta t$. Стоит отметить, что $\Delta t$ здесь – это не неопределенность момента времени, а временной интервал, за который состояние системы заметно меняется.

Свяжем неопределенность энергии $\Delta E$ с неопределенностью импульса $\Delta p_x$. Энергия частицы (кинетическая) равна $E = \frac{p_x^2}{2m}$. Для малого изменения импульса $\Delta p_x$ соответствующее изменение энергии $\Delta E$ можно оценить как:

$$ \Delta E \approx \left| \frac{dE}{dp_x} \right| \Delta p_x = \left| \frac{2p_x}{2m} \right| \Delta p_x = v_x \Delta p_x $$

Отсюда $\Delta p_x \approx \frac{\Delta E}{v_x}$.

Подставим выражения для $\Delta x$ и $\Delta p_x$ в исходное соотношение неопределенностей:

$$ (v_x \Delta t) \cdot \left( \frac{\Delta E}{v_x} \right) \ge \frac{\hbar}{2} $$

Сократив скорость $v_x$, получаем искомое соотношение:

$$ \Delta E \cdot \Delta t \ge \frac{\hbar}{2} $$

Способ 2: На основе волновых пакетов.

Любое квантовое состояние можно представить как суперпозицию (волновой пакет) стационарных состояний (плоских волн) с различными частотами $\omega$. Из теории сигналов и преобразования Фурье известно, что для волнового пакета, имеющего длительность $\Delta t$, характерен разброс (неопределенность) по частотам $\Delta \omega$, связанный соотношением:

$$ \Delta t \cdot \Delta \omega \ge \frac{1}{2} $$

Согласно квантовой гипотезе Планка, энергия кванта связана с его циклической частотой соотношением $E = \hbar \omega$. Следовательно, неопределенность энергии связана с неопределенностью частоты как $\Delta E = \hbar \Delta \omega$.

Подставив $\Delta \omega = \frac{\Delta E}{\hbar}$ в соотношение для волнового пакета, получаем:

$$ \Delta t \cdot \frac{\Delta E}{\hbar} \ge \frac{1}{2} $$

Откуда следует соотношение неопределенностей для энергии и времени:

$$ \Delta E \cdot \Delta t \ge \frac{\hbar}{2} $$

Сформулированное соотношение и его физический смысл

Соотношение неопределенностей Гейзенберга для энергии и времени формулируется следующим образом: Произведение неопределенности энергии квантовой системы $\Delta E$ на характерное время $\Delta t$, в течение которого эта система претерпевает существенное изменение, не может быть по порядку величины меньше приведенной постоянной Планка $\hbar$.

Математически это записывается как:

$$ \Delta E \cdot \Delta t \ge \frac{\hbar}{2} $$

Здесь $\Delta E$ – среднеквадратичное отклонение энергии, а $\Delta t$ – это время, за которое среднее значение некоторой наблюдаемой величины (не коммутирующей с энергией) изменяется на величину своего среднеквадратичного отклонения.

Это соотношение имеет несколько важных физических интерпретаций:

1. Время жизни и ширина энергетического уровня: Если квантовая система находится в нестабильном (возбужденном) состоянии с конечным временем жизни $\tau$, то это время можно рассматривать как неопределенность времени ее существования, $\Delta t \approx \tau$. Тогда энергия этого состояния не может быть определена точно, она имеет неопределенность (ширину уровня) $\Delta E \ge \frac{\hbar}{2\tau}$. Чем меньше время жизни состояния, тем больше разброс его энергии. Это проявляется, например, в уширении спектральных линий, испускаемых атомами.

2. Время измерения энергии: Для того чтобы измерить энергию системы с точностью $\Delta E$, процесс измерения должен длиться не менее чем $\Delta t \ge \frac{\hbar}{2\Delta E}$. Быстрое измерение неизбежно приведет к большой неопределенности в значении энергии.

3. Закон сохранения энергии в виртуальных процессах: Соотношение неопределенностей позволяет на короткое время $\Delta t$ "нарушать" закон сохранения энергии на величину $\Delta E \sim \hbar/\Delta t$. Это лежит в основе концепции виртуальных частиц, которые могут рождаться и исчезать за очень короткие промежутки времени, недоступные для прямого наблюдения.

Ответ:

Соотношение неопределенностей Гейзенберга для времени и энергии устанавливает фундаментальную связь между неопределенностью энергии $\Delta E$ системы и характерным временем $\Delta t$ эволюции ее состояния. Оно выводится либо на основе соотношения для координаты и импульса, либо из общих свойств волновых пакетов и имеет вид:

$$ \Delta E \cdot \Delta t \ge \frac{\hbar}{2} $$

где $\hbar$ — приведенная постоянная Планка. Физический смысл соотношения заключается в том, что:

1) Чем меньше время жизни $\tau$ нестабильного состояния (для которого $\Delta t = \tau$), тем больше неопределенность (ширина) его энергетического уровня $\Delta E$.

2) Для измерения энергии с точностью $\Delta E$ требуется время измерения не менее $\Delta t \ge \frac{\hbar}{2\Delta E}$.