Номер 3, страница 180 - гдз по физике 11 класс учебник Касьянов

Задачи. § 50. Поглощение и излучение света атомом. Глава 6. Квантовая теория электромагнитного излучения и вещества - номер 3, страница 180.

3. Излучение какой длины волны поглощает электрон при переходе из основного состояния атома водорода в первое возбуждённое?

Дано:

Атом водорода

Начальное состояние (основное): $n_1 = 1$

Конечное состояние (первое возбужденное): $n_2 = 2$

Постоянная Планка: $h \approx 6.63 \cdot 10^{-34}$ Дж·с

Скорость света: $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с

Энергия ионизации атома водорода: $E_{ion} = 13.6$ эВ

Элементарный заряд: $e \approx 1.6 \cdot 10^{-19}$ Кл

Перевод в СИ:

$E_{ion} = 13.6 \text{ эВ} = 13.6 \cdot 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} = 21.76 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} \approx 2.18 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}$

Найти:

Длину волны поглощенного излучения $\lambda$.

Решение:

Согласно постулатам Бора, энергия электрона на $n$-ом энергетическом уровне в атоме водорода определяется формулой:

$E_n = -\frac{E_{ion}}{n^2}$

где $E_{ion}$ - энергия ионизации атома водорода (энергия, необходимая для отрыва электрона от протона из основного состояния), а $n$ - главное квантовое число, которое определяет номер энергетического уровня.

1. Найдем энергию электрона в основном состоянии (на самом низком энергетическом уровне), для которого $n_1=1$:

$E_1 = -\frac{E_{ion}}{1^2} = -E_{ion} = -13.6 \text{ эВ}$

2. Найдем энергию электрона в первом возбужденном состоянии (на следующем энергетическом уровне), для которого $n_2=2$:

$E_2 = -\frac{E_{ion}}{2^2} = -\frac{E_{ion}}{4} = -\frac{13.6 \text{ эВ}}{4} = -3.4 \text{ эВ}$

3. Для того чтобы электрон перешел с основного уровня на первый возбужденный, он должен поглотить фотон. Энергия этого фотона $\Delta E$ должна быть в точности равна разности энергий этих двух уровней:

$\Delta E = E_2 - E_1 = (-3.4 \text{ эВ}) - (-13.6 \text{ эВ}) = 10.2 \text{ эВ}$

4. Энергия фотона связана с длиной волны $\lambda$ поглощаемого излучения формулой Планка:

$\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$

Из этой формулы мы можем выразить искомую длину волны:

$\lambda = \frac{hc}{\Delta E}$

5. Для проведения расчетов в системе СИ переведем энергию фотона $\Delta E$ из электронвольт (эВ) в Джоули (Дж):

$\Delta E = 10.2 \text{ эВ} = 10.2 \cdot 1.6 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} = 1.632 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}$

6. Теперь подставим все числовые значения в формулу для длины волны:

$\lambda = \frac{6.63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж}\cdot\text{с} \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{1.632 \cdot 10^{-18} \text{ Дж}} \approx \frac{19.89 \cdot 10^{-26}}{1.632 \cdot 10^{-18}} \text{ м} \approx 12.1875 \cdot 10^{-8} \text{ м}$

7. Переведем полученный результат в нанометры ($1 \text{ нм} = 10^{-9} \text{ м}$) и округлим:

$\lambda \approx 121.875 \cdot 10^{-9} \text{ м} \approx 122 \text{ нм}$

Эта длина волны соответствует ультрафиолетовому диапазону электромагнитного спектра и является самой длинноволновой (и первой) линией в серии Лаймана для спектра атома водорода.

Ответ: $122$ нм.