Страница 104 - гдз по физике 11 класс учебник Касьянов

В О П Р О С Ы

1. Какую волну называют электромагнитной? С какой скоростью она распространяется?

Какую волну называют электромагнитной? С какой скоростью она распространяется?

Электромагнитной волной называют процесс распространения в пространстве переменного во времени электромагнитного поля. Такие волны возникают при ускоренном движении электрических зарядов. Теоретически существование электромагнитных волн было предсказано Джеймсом Максвеллом.

Электромагнитная волна представляет собой поперечную волну. Это означает, что колебания векторов напряженности электрического поля ($\vec{E}$) и индукции магнитного поля ($\vec{B}$) происходят в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны. При этом векторы $\vec{E}$ и $\vec{B}$ всегда перпендикулярны друг другу и колеблются в одной фазе.

Скорость распространения электромагнитной волны зависит от среды, в которой она движется.

• В вакууме электромагнитные волны распространяются с максимально возможной в природе скоростью, называемой скоростью света в вакууме. Она является фундаментальной физической постоянной и обозначается буквой $c$. Ее значение составляет $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с (или точнее $c = 299\;792\;458$ м/с). Эта скорость выражается через электрическую ($\varepsilon_0$) и магнитную ($\mu_0$) постоянные: $c = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}}$.
• В любой материальной среде (например, в воздухе, воде, стекле) скорость распространения электромагнитной волны $v$ всегда меньше, чем в вакууме. Она определяется по формуле $v = \frac{c}{n}$, где $n$ — это абсолютный показатель преломления среды. Так как для любой среды $n > 1$, то всегда выполняется условие $v < c$.

Ответ: Электромагнитной волной называют распространяющееся в пространстве переменное электромагнитное поле. В вакууме она распространяется со скоростью света $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с. В среде ее скорость $v$ меньше и определяется показателем преломления среды $n$ по формуле $v = c/n$.

2. Опишите опыт Герца по обнаружению электромагнитных волн.

Опыты Генриха Герца, проведенные в 1886–1889 годах, стали первым экспериментальным подтверждением теории электромагнетизма Джеймса Клерка Максвелла, которая предсказывала существование электромагнитных волн, распространяющихся в пространстве со скоростью света.

Для генерации электромагнитных волн Герц использовал устройство, которое он назвал вибратором. Оно представляло собой открытый колебательный контур, состоящий из двух медных стержней с латунными шарами на концах. Между внутренними концами стержней находился небольшой воздушный зазор — искровой промежуток. Стержни подключались ко вторичной обмотке высоковольтной катушки Румкорфа. При подаче высокого напряжения в искровом промежутке проскакивала искра, что означало возникновение быстрых электромагнитных колебаний в вибраторе. Согласно теории Максвелла, такая система должна была излучать в окружающее пространство электромагнитные волны.

Для обнаружения (приема) этих волн Герц сконструировал резонатор — простейший приемник, который также представлял собой открытый колебательный контур. Чаще всего это был проволочный виток (прямоугольной или круглой формы) с очень маленьким искровым промежутком. Размеры резонатора подбирались таким образом, чтобы его собственная частота колебаний совпадала с частотой колебаний вибратора (явление резонанса).

Суть эксперимента заключалась в следующем:

1. Вибратор (передатчик) и резонатор (приемник) размещались на некотором расстоянии друг от друга без какой-либо электрической связи между ними.

2. При включении катушки Румкорфа в искровом промежутке вибратора возникала мощная искра.

3. Одновременно с этим Герц наблюдал появление очень слабой, едва заметной искорки в микроскопическом зазоре резонатора.

Появление искры в резонаторе доказывало, что энергия от вибратора передавалась к нему через пространство. Эта передача энергии и была осуществлена предсказанными Максвеллом электромагнитными волнами. Переменное электромагнитное поле волны, достигая резонатора, индуцировало в нем переменную ЭДС, которая при резонансе достигала достаточной величины для пробоя воздушного зазора.

В дальнейших экспериментах Герц исследовал свойства обнаруженных им волн:

• Отражение: Разместив за резонатором большой цинковый экран, Герц обнаружил, что волны отражаются от него, образуя стоячую волну. Это позволило измерить длину волны $\lambda$.
• Преломление: Он показал, что электромагнитные волны преломляются, пропуская их через большую призму из асфальта.
• Поляризация: Герц установил, что интенсивность искры в резонаторе зависит от его ориентации относительно вибратора. Искра была максимальной, когда проводники резонатора и вибратора были параллельны, и исчезала, когда они были перпендикулярны. Это доказывало поперечный характер электромагнитных волн.
• Скорость распространения: Зная частоту колебаний своего вибратора $\nu$ (которую он мог рассчитать по параметрам контура) и измерив длину волны $\lambda$ в опыте со стоячей волной, Герц вычислил скорость их распространения по формуле $c = \lambda \cdot \nu$. Полученное им значение было очень близко к скорости света, что стало решающим доказательством того, что свет является частным случаем электромагнитных волн.

Таким образом, опыты Герца не только подтвердили существование электромагнитных волн, но и продемонстрировали их фундаментальное родство со светом.

Ответ: В своих опытах Генрих Герц использовал высоковольтный искровой генератор (вибратор Герца) для создания электромагнитных волн и приемный контур с малым искровым зазором (резонатор) для их обнаружения. Появление искры в резонаторе, расположенном на расстоянии от вибратора, доказывало передачу энергии волнами через пространство. Герц также экспериментально изучил свойства этих волн: отражение, преломление, поляризацию и измерил скорость их распространения, которая оказалась равной скорости света, тем самым подтвердив теорию электромагнитного поля Максвелла.

3. Объясните результаты опыта Герца с помощью теории Максвелла. Почему электромагнитная волна является поперечной?

Объясните результаты опыта Герца с помощью теории Максвелла.

Решение:

Опыты Генриха Герца, проведенные в 1886–1889 годах, стали экспериментальным подтверждением теоретических выводов Джеймса Клерка Максвелла о существовании электромагнитных волн. Теория Максвелла, сформулированная в виде системы уравнений, предсказывала, что переменное во времени электрическое поле порождает переменное магнитное поле, которое, в свою очередь, порождает переменное электрическое поле. Этот взаимосвязанный процесс должен распространяться в пространстве в виде волны.

В опытах Герца источником электромагнитных волн служил так называемый вибратор Герца — два стержня с шариками на концах, разделенные небольшим искровым промежутком. К стержням подводилось высокое напряжение от индукционной катушки. При пробое искрового промежутка в вибраторе возникали быстрые электромагнитные колебания — ускоренное движение электрических зарядов. Согласно теории Максвелла, именно ускоренно движущиеся заряды являются источником электромагнитных волн.

Для обнаружения этих волн Герц использовал приемник (резонатор) — незамкнутое проволочное кольцо с очень маленьким искровым промежутком. Результаты опытов Герца объясняются теорией Максвелла следующим образом:

1. Генерация и прием волн: Электрические колебания в вибраторе-передатчике создавали в окружающем пространстве периодически изменяющиеся электрическое и магнитное поля. Эти поля, взаимно порождая друг друга, распространялись от источника со скоростью света, образуя электромагнитную волну. Когда эта волна достигала приемника, ее переменное магнитное поле, пронизывая контур приемника, создавало в нем индукционный ток (согласно закону электромагнитной индукции Фарадея, который является частью уравнений Максвелла). Этот ток вызывал проскакивание искры в зазоре приемника, что и служило индикатором приема волны.

2. Свойства волн: Герц экспериментально показал, что полученные им волны обладают всеми свойствами, характерными для волновых процессов и предсказанными для света теорией Максвелла:

   • Отражение: Волны отражались от металлического листа.
   • Преломление: Волны преломлялись при прохождении через большую асфальтовую призму.
   • Интерференция: Наложение прямой и отраженной волн приводило к образованию стоячих волн с характерными максимумами и минимумами.
   • Поляризация: Интенсивность искры в приемнике зависела от его ориентации относительно передатчика. Искра была максимальной, когда проводники приемника и передатчика были параллельны, и исчезала, когда они были перпендикулярны. Это доказывало поперечность электромагнитных волн.

3. Скорость распространения: Измерив длину стоячей волны $ \lambda $ и зная частоту колебаний в вибраторе $ f $, Герц рассчитал скорость распространения волн по формуле $ c = \lambda f $. Полученное значение оказалось близким к скорости света, что стало решающим доказательством того, что свет является частным случаем электромагнитных волн.

Таким образом, опыты Герца блестяще подтвердили все ключевые положения электромагнитной теории Максвелла: существование электромагнитных волн, их генерацию ускоренными зарядами, конечность скорости их распространения и тождественность их природы природе света.

Ответ: Опыты Герца экспериментально подтвердили теорию Максвелла. Осциллирующие заряды в передатчике (вибраторе) создавали в пространстве распространяющиеся электромагнитные волны, как и предсказывала теория. Эти волны, достигая приемника, индуцировали в нем ток (согласно закону Фарадея), что вызывало искру. Герц продемонстрировал, что эти волны отражаются, преломляются, интерферируют и поляризуются, а их скорость равна скорости света, что полностью соответствовало выводам теории Максвелла об электромагнитной природе света.

Почему электромагнитная волна является поперечной?

Решение:

Поперечной называется волна, в которой колебания происходят перпендикулярно направлению ее распространения. То, что электромагнитная волна является поперечной, — это прямое математическое следствие из уравнений Максвелла для свободного пространства (в отсутствие зарядов и токов).

Рассмотрим два из четырех уравнений Максвелла в дифференциальной форме:

1. Теорема Гаусса для электрического поля: $ \nabla \cdot \vec{E} = 0 $

2. Теорема Гаусса для магнитного поля: $ \nabla \cdot \vec{B} = 0 $

Здесь $ \vec{E} $ — вектор напряженности электрического поля, $ \vec{B} $ — вектор магнитной индукции, а $ \nabla \cdot $ — операция дивергенции.

Пусть плоская электромагнитная волна распространяется вдоль оси $z$. Это означает, что векторы $ \vec{E} $ и $ \vec{B} $ зависят только от координаты $z$ и времени $t$. Вектор $ \vec{E} $ можно разложить на компоненты: $ \vec{E} = E_x \hat{i} + E_y \hat{j} + E_z \hat{k} $.

Операция дивергенции для $ \vec{E} $ записывается как $ \nabla \cdot \vec{E} = \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z} $. Поскольку по нашему предположению волна плоская и распространяется вдоль оси $z$, компоненты поля не зависят от $x$ и $y$, то есть $ \frac{\partial E_x}{\partial x} = 0 $ и $ \frac{\partial E_y}{\partial y} = 0 $.

Тогда уравнение $ \nabla \cdot \vec{E} = 0 $ упрощается до $ \frac{\partial E_z}{\partial z} = 0 $.

Это уравнение означает, что продольная компонента электрического поля $ E_z $ (компонента, направленная вдоль движения волны) не изменяется в пространстве. Поскольку волна — это распространяющееся колебание, ее характеристики должны меняться. Постоянная составляющая поля не может быть частью волнового процесса. Следовательно, колеблющаяся часть вектора $ \vec{E} $ не имеет продольной составляющей, то есть вектор напряженности электрического поля $ \vec{E} $ колеблется в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны.

Аналогичные рассуждения применимы и к магнитному полю. Из уравнения $ \nabla \cdot \vec{B} = 0 $ следует, что $ \frac{\partial B_z}{\partial z} = 0 $. Это означает, что и вектор магнитной индукции $ \vec{B} $ также не имеет продольной компоненты и колеблется перпендикулярно направлению распространения.

Более того, два других уравнения Максвелла ($ \nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} $ и $ \nabla \times \vec{B} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} $) показывают, что векторы $ \vec{E} $ и $ \vec{B} $ также перпендикулярны и друг другу. Таким образом, векторы $ \vec{E} $, $ \vec{B} $ и вектор скорости распространения волны $ \vec{v} $ образуют правую тройку взаимно перпендикулярных векторов.

Ответ: Электромагнитная волна является поперечной, так как это следует из уравнений Максвелла. В частности, из уравнений Гаусса для электрического ($ \nabla \cdot \vec{E} = 0 $) и магнитного ($ \nabla \cdot \vec{B} = 0 $) полей в пространстве без зарядов следует, что векторы напряженности электрического поля $ \vec{E} $ и магнитной индукции $ \vec{B} $ не имеют составляющих в направлении распространения волны. Это означает, что колебания векторов $ \vec{E} $ и $ \vec{B} $ происходят в плоскости, перпендикулярной (поперечной) вектору скорости распространения волны.

4. Почему излучение электромагнитных волн возникает при ускоренном движении электрических зарядов? Как напряжённость электрического поля в излучаемой электромагнитной волне зависит от ускорения излучающей заряженной частицы?

Почему излучение электромагнитных волн возникает при ускоренном движении электрических зарядов?

Согласно теории электромагнетизма, любой электрический заряд создает вокруг себя электрическое поле. Характер этого поля зависит от состояния движения заряда.

1. Покоящийся заряд. Неподвижный электрический заряд создает вокруг себя только статическое (неизменное во времени) электростатическое поле.

2. Равномерно движущийся заряд. Заряд, движущийся с постоянной скоростью, создает как постоянное электрическое, так и постоянное магнитное поле. Эти поля перемещаются в пространстве вместе с зарядом, но их структура относительно самого заряда не меняется. Такое движение не приводит к излучению волн, которые бы "отрывались" от заряда и распространялись самостоятельно.

3. Ускоренно движущийся заряд. Ситуация кардинально меняется, когда заряд движется с ускорением (т.е. его вектор скорости изменяется по величине или направлению). В этом случае создаваемые им электрическое и магнитное поля становятся переменными во времени.

Фундаментальный принцип, описанный уравнениями Максвелла, гласит, что переменное электрическое поле порождает переменное магнитное поле, и наоборот, переменное магнитное поле порождает переменное электрическое поле. При ускоренном движении заряда эти два процесса становятся самоподдерживающимися: изменение одного поля индуцирует другое, которое, в свою очередь, поддерживает первое. Эта взаимосвязанная система переменных полей отрывается от заряда-источника и распространяется в пространстве в виде электромагнитной волны со скоростью света. Энергия поля уносится от заряда, что и представляет собой процесс излучения.

Ответ: Излучение электромагнитных волн возникает при ускоренном движении зарядов потому, что только в этом случае создаются переменные во времени электрическое и магнитное поля, способные к самоподдержанию и распространению в пространстве в виде волны, что описывается уравнениями Максвелла. При покое или равномерном прямолинейном движении поля не являются переменными таким образом, чтобы порождать самораспространяющуюся волну.

Как напряжённость электрического поля в излучаемой электромагнитной волне зависит от ускорения излучающей заряженной частицы?

Напряжённость электрического поля $E$ в излучаемой электромагнитной волне находится в прямой зависимости от ускорения $a$ заряженной частицы, которая является источником этой волны.

Для точечного заряда $q$, движущегося с нерелятивистской скоростью, напряженность электрической составляющей поля излучения на большом расстоянии $r$ от заряда может быть найдена по формуле: $E = \frac{q \cdot a_{\perp}}{4 \pi \varepsilon_0 c^2 r} = \frac{q \cdot a \cdot \sin\theta}{4 \pi \varepsilon_0 c^2 r}$ где $q$ – величина заряда, $a$ – модуль его ускорения, $a_{\perp}$ - проекция ускорения на плоскость, перпендикулярную направлению наблюдения, $\theta$ – угол между вектором ускорения и направлением на точку наблюдения, $c$ – скорость света в вакууме, а $\varepsilon_0$ – электрическая постоянная.

Из данной формулы видно, что при неизменных прочих параметрах (заряд, расстояние, угол наблюдения) напряженность электрического поля прямо пропорциональна модулю ускорения: $E \propto a$

Это означает, что чем с большим ускорением движется заряженная частица, тем более сильное возмущение она создает в окружающем электромагнитном поле, и, следовательно, тем больше амплитуда (напряжённость) излучаемой ею электромагнитной волны.

Ответ: Напряжённость электрического поля в излучаемой электромагнитной волне прямо пропорциональна ускорению излучающей заряженной частицы.

5. Как зависит плотность энергии электромагнитного поля от напряжённости электрического поля?

Решение

Плотность энергии электромагнитного поля $w$ представляет собой сумму плотности энергии электрического поля $w_E$ и плотности энергии магнитного поля $w_B$.

$w = w_E + w_B$

Плотность энергии электрического поля определяется его напряжённостью $E$ и свойствами среды (её диэлектрической проницаемостью $\epsilon$). Формула для плотности энергии электрического поля имеет вид:

$w_E = \frac{\epsilon_0 \epsilon E^2}{2}$

где $\epsilon_0$ — электрическая постоянная, а $\epsilon$ — относительная диэлектрическая проницаемость среды.

Аналогично, плотность энергии магнитного поля $w_B$ зависит от напряжённости магнитного поля $H$ (или индукции $B$) и магнитной проницаемости среды $\mu$:

$w_B = \frac{\mu_0 \mu H^2}{2} = \frac{B^2}{2\mu_0 \mu}$

где $\mu_0$ — магнитная постоянная, а $\mu$ — относительная магнитная проницаемость среды.

Ключевой особенностью электромагнитной волны является то, что в любой момент времени и в любой точке пространства плотности энергий её электрической и магнитной составляющих равны:

$w_E = w_B$

Исходя из этого равенства, мы можем выразить полную плотность энергии электромагнитного поля только через напряжённость электрического поля $E$:

$w = w_E + w_B = w_E + w_E = 2w_E$

Подставив выражение для $w_E$, получаем:

$w = 2 \cdot \frac{\epsilon_0 \epsilon E^2}{2} = \epsilon_0 \epsilon E^2$

Таким образом, плотность энергии электромагнитного поля прямо пропорциональна квадрату напряжённости электрического поля.

Ответ: Плотность энергии электромагнитного поля $w$ прямо пропорциональна квадрату напряжённости электрического поля $E$. Эта зависимость описывается формулой $w = \epsilon_0 \epsilon E^2$.