Страница 109 - гдз по физике 11 класс учебник Касьянов

З А Д А Ч И

1. Радиостанция работает на частоте $v = 100 \text{ МГц}$. Считая, что скорость распространения электромагнитных волн в атмосфере равна скорости света в вакууме, найдите соответствующую длину волны.

Дано:

ν = 100 МГц = $100 \cdot 10^6$ Гц = $10^8$ Гц

c ≈ $3 \cdot 10^8$ м/с (скорость света в вакууме)

Найти:

λ - ?

Решение:

Длина волны λ, частота ν и скорость распространения электромагнитной волны c связаны между собой формулой:

$\lambda = \frac{c}{\nu}$

Подставим данные из условия задачи в эту формулу:

$\lambda = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{10^8 \text{ Гц}} = 3$ м

Ответ: 3 м.

2. Колебательный контур радиоприёмника настроен на длину волны $\lambda = 300$ м. Катушка индуктивности в контуре обладает индуктивностью $L = 100$ мкГн. Найдите ёмкость конденсатора в контуре.

Дано:

Длина волны, $\lambda = 300$ м

Индуктивность катушки, $L = 100$ мкГн

Скорость света в вакууме, $c = 3 \cdot 10^8$ м/с

Перевод в систему СИ:

$L = 100 \text{ мкГн} = 100 \cdot 10^{-6} \text{ Гн} = 1 \cdot 10^{-4} \text{ Гн}$

Найти:

Ёмкость конденсатора, $C$.

Решение:

Колебательный контур настроен на определённую длину волны, что означает, что собственная частота колебаний контура совпадает с частотой принимаемой электромагнитной волны. Длина волны $\lambda$ связана с периодом $T$ электромагнитных колебаний в контуре через скорость света $c$ по формуле:

$\lambda = c \cdot T$

Период свободных электромагнитных колебаний в LC-контуре определяется формулой Томсона:

$T = 2\pi\sqrt{LC}$

где $L$ — индуктивность катушки, а $C$ — ёмкость конденсатора.

Приравняем два выражения для периода, выразив $T$ из первой формулы ($T = \lambda/c$) и подставив во вторую:

$\frac{\lambda}{c} = 2\pi\sqrt{LC}$

Чтобы найти ёмкость $C$, выразим её из этого уравнения. Сначала возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

$(\frac{\lambda}{c})^2 = (2\pi\sqrt{LC})^2$

$\frac{\lambda^2}{c^2} = 4\pi^2LC$

Теперь выразим $C$:

$C = \frac{\lambda^2}{4\pi^2c^2L}$

Подставим известные значения в полученную формулу:

$C = \frac{(300)^2}{4\pi^2(3 \cdot 10^8)^2 \cdot 10^{-4}} = \frac{9 \cdot 10^4}{4\pi^2 \cdot 9 \cdot 10^{16} \cdot 10^{-4}}$

Сократим $9$ в числителе и знаменателе и произведем вычисления со степенями:

$C = \frac{10^4}{4\pi^2 \cdot 10^{12}} = \frac{1}{4\pi^2} \cdot 10^{-8} \text{ Ф}$

Для вычисления численного значения используем приближение $\pi \approx 3.14$, откуда $\pi^2 \approx 9.87$:

$C \approx \frac{1}{4 \cdot 9.87} \cdot 10^{-8} \approx \frac{1}{39.48} \cdot 10^{-8} \approx 0.02533 \cdot 10^{-8} \text{ Ф}$

Запишем результат в стандартном виде и переведём в пикофарады (1 пФ = $10^{-12}$ Ф):

$C \approx 2.533 \cdot 10^{-10} \text{ Ф} = 253.3 \cdot 10^{-12} \text{ Ф} = 253.3 \text{ пФ}$

Ответ: ёмкость конденсатора в контуре составляет приблизительно $2.53 \cdot 10^{-10}$ Ф, или 253 пФ.

3. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью 1 мкГн и конденсатора, ёмкость которого может изменяться в пределах от $10^{-8}$ Ф до $4 \cdot 10^{-8}$ Ф.

На какой диапазон длин волн может быть настроен этот контур?

Дано:

$L = 1 \text{ мкГн}$

$C_{min} = 10^{-8} \text{ Ф}$

$C_{max} = 4 \cdot 10^{-8} \text{ Ф}$

$c = 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

$L = 1 \cdot 10^{-6} \text{ Гн}$

Найти:

Диапазон длин волн $\lambda_{min} - \lambda_{max}$

Решение:

Длина электромагнитной волны $\lambda$, которую излучает или принимает колебательный контур, связана с периодом $T$ собственных электромагнитных колебаний в нём соотношением $\lambda = cT$, где $c$ — скорость света в вакууме.

Период собственных колебаний в контуре определяется по формуле Томсона: $T = 2\pi\sqrt{LC}$

Объединив эти две формулы, получим выражение для длины волны, на которую настроен контур: $\lambda = 2\pi c \sqrt{LC}$

Так как ёмкость конденсатора $C$ может изменяться в заданных пределах, то и длина волны $\lambda$ также будет изменяться в соответствующем диапазоне. Найдем минимальную и максимальную возможные длины волн.

Минимальная длина волны $\lambda_{min}$ соответствует минимальной ёмкости $C_{min}$: $\lambda_{min} = 2\pi c \sqrt{LC_{min}}$

Подставим числовые значения: $\lambda_{min} = 2 \cdot 3.14 \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} \cdot \sqrt{1 \cdot 10^{-6} \text{ Гн} \cdot 10^{-8} \text{ Ф}} = 18.84 \cdot 10^8 \cdot \sqrt{10^{-14}} \text{ м} = 18.84 \cdot 10^8 \cdot 10^{-7} \text{ м} \approx 188 \text{ м}$

Максимальная длина волны $\lambda_{max}$ соответствует максимальной ёмкости $C_{max}$: $\lambda_{max} = 2\pi c \sqrt{LC_{max}}$

Подставим числовые значения: $\lambda_{max} = 2 \cdot 3.14 \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} \cdot \sqrt{1 \cdot 10^{-6} \text{ Гн} \cdot 4 \cdot 10^{-8} \text{ Ф}} = 18.84 \cdot 10^8 \cdot \sqrt{4 \cdot 10^{-14}} \text{ м} = 18.84 \cdot 10^8 \cdot 2 \cdot 10^{-7} \text{ м} \approx 377 \text{ м}$

Таким образом, контур может быть настроен на диапазон длин волн от $188$ м до $377$ м.

Ответ: контур может быть настроен на диапазон длин волн от $188 \text{ м}$ до $377 \text{ м}$.