Страница 112 - гдз по физике 11 класс учебник Касьянов

В О П Р О С Ы

1. Дайте определение потока и плотности потока энергии электромагнитной волны.

Поток энергии электромагнитной волны

Поток энергии электромагнитной волны, также называемый мощностью излучения, — это скалярная физическая величина, которая определяет количество энергии, переносимой волной через заданную поверхность в единицу времени. По сути, это мощность, переносимая волной.

Если за промежуток времени $ \Delta t $ через поверхность переносится энергия $ \Delta W $, то поток энергии $ \Phi_W $ равен:

$ \Phi_W = \frac{\Delta W}{\Delta t} $

Единицей измерения потока энергии в Международной системе единиц (СИ) является ватт (Вт).

Ответ: Поток энергии электромагнитной волны — это энергия, которую волна переносит через определенную поверхность за единицу времени.

Плотность потока энергии электромагнитной волны

Плотность потока энергии — это векторная физическая величина, характеризующая направление и интенсивность переноса энергии электромагнитной волной. Эта величина также известна как вектор Пойнтинга (или вектор Умова-Пойнтинга) и обозначается символом $ \vec{S} $ или $ \vec{\Pi} $.

• Направление вектора $ \vec{S} $ совпадает с направлением распространения волны и, следовательно, с направлением переноса энергии.
• Модуль вектора $ |\vec{S}| $ равен энергии, проходящей в единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны. Модуль вектора Пойнтинга также называют интенсивностью волны.

Вектор Пойнтинга определяется как векторное произведение вектора напряженности электрического поля $ \vec{E} $ и вектора напряженности магнитного поля $ \vec{H} $:

$ \vec{S} = [\vec{E} \times \vec{H}] $

Для плоской электромагнитной волны в вакууме, где векторы $ \vec{E} $ и $ \vec{H} $ перпендикулярны друг другу и направлению распространения, модуль вектора Пойнтинга равен $ S = EH $.

Единицей измерения плотности потока энергии в СИ является ватт на квадратный метр (Вт/м²).

Поток энергии $ \Phi_W $ через поверхность площадью $ A $ связан с вектором плотности потока энергии $ \vec{S} $ следующим соотношением (интегралом по поверхности):

$ \Phi_W = \int_A \vec{S} \cdot d\vec{A} $

Ответ: Плотность потока энергии (вектор Пойнтинга) — это векторная величина, определяющая мощность электромагнитного излучения, проходящего через единицу площади, перпендикулярной направлению распространения энергии.

2. Какая физическая величина характеризует перенос средней мощности электромагнитной волной?

Решение

Перенос энергии электромагнитной волной характеризуется вектором Пойнтинга (также известным как вектор Умова-Пойнтинга). Этот вектор обозначается как $\vec{S}$ и определяет плотность потока энергии, то есть количество энергии, переносимое волной через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны, за единицу времени. По сути, это мощность, приходящаяся на единицу площади.

Вектор Пойнтинга определяется через векторное произведение напряженности электрического поля $\vec{E}$ и напряженности магнитного поля $\vec{H}$:

$ \vec{S} = [\vec{E} \times \vec{H}] $

В вакууме эта формула принимает вид:

$ \vec{S} = \frac{1}{\mu_0} [\vec{E} \times \vec{B}] $

где $\vec{E}$ – вектор напряженности электрического поля, $\vec{B}$ – вектор магнитной индукции, а $\mu_0$ – магнитная постоянная.

Направление вектора Пойнтинга $\vec{S}$ совпадает с направлением распространения электромагнитной волны. Его модуль $S$ равен мгновенной мощности, переносимой через единицу площади.

Поскольку напряженности полей $\vec{E}$ и $\vec{B}$ в электромагнитной волне изменяются со временем (обычно по гармоническому закону), вектор Пойнтинга также является функцией времени. Вопрос касается средней мощности, поэтому для ее характеристики используется усредненное по времени значение модуля вектора Пойнтинга, которое называется интенсивностью электромагнитной волны ($I$).

$ I = \langle S \rangle $

Интенсивность – это средняя мощность, переносимая волной через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения. Для плоской синусоидальной волны в вакууме интенсивность связана с амплитудой электрического поля $E_0$ следующим образом:

$ I = \frac{1}{2} c \varepsilon_0 E_0^2 $

где $c$ – скорость света в вакууме, а $\varepsilon_0$ – электрическая постоянная.

Ответ: Перенос средней мощности электромагнитной волной характеризуется интенсивностью волны, которая представляет собой усредненное по времени значение модуля вектора Пойнтинга (вектора Умова-Пойнтинга).

3. Как интенсивность гармонической электромагнитной волны зависит от амплитуды напряжённости электрического поля в волне?

Интенсивность гармонической электромагнитной волны ($I$) определяется как средняя по времени мощность излучения, переносимая волной через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны. Эта величина напрямую связана с энергией, которую несут электрическое и магнитное поля волны.

Плотность потока энергии в электромагнитной волне в каждый момент времени описывается вектором Пойнтинга $\vec{S}$:

$ \vec{S} = \frac{1}{\mu_0} [\vec{E} \times \vec{B}] $

где $\vec{E}$ — вектор напряжённости электрического поля, $\vec{B}$ — вектор индукции магнитного поля, а $\mu_0$ — магнитная постоянная. Направление вектора $\vec{S}$ совпадает с направлением распространения волны.

Для плоской электромагнитной волны, распространяющейся в вакууме, векторы $\vec{E}$ и $\vec{B}$ взаимно перпендикулярны и колеблются в фазе. Их модули связаны соотношением $E = cB$, где $c$ — скорость света в вакууме. Модуль вектора Пойнтинга можно выразить через модуль напряжённости электрического поля:

$ S = EB / \mu_0 = E(E/c) / \mu_0 = E^2 / (c\mu_0) $

Используя связь скорости света с электрической ($\epsilon_0$) и магнитной ($\mu_0$) постоянными $c = 1/\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}$, получаем:

$ S = c \epsilon_0 E^2 $

Для гармонической волны напряжённость электрического поля изменяется по синусоидальному закону: $E = E_m \cos(\omega t - kx)$, где $E_m$ — амплитуда напряжённости электрического поля. Интенсивность $I$ волны равна среднему значению модуля вектора Пойнтинга $\langle S \rangle$ за период колебаний:

$ I = \langle S \rangle = \langle c \epsilon_0 E_m^2 \cos^2(\omega t - kx) \rangle $

Так как $c$, $\epsilon_0$ и $E_m$ являются постоянными величинами, их можно вынести за знак усреднения. Среднее значение функции $\cos^2(\alpha)$ за полный период равно $1/2$.

$ \langle \cos^2(\omega t - kx) \rangle = \frac{1}{2} $

Следовательно, формула для интенсивности волны принимает вид:

$ I = c \epsilon_0 E_m^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} c \epsilon_0 E_m^2 $

Из этой формулы видно, что интенсивность гармонической электромагнитной волны прямо пропорциональна квадрату амплитуды напряжённости электрического поля.

Ответ: Интенсивность гармонической электромагнитной волны ($I$) прямо пропорциональна квадрату амплитуды напряжённости электрического поля ($E_m$) в этой волне. Эта зависимость выражается формулой: $I = \frac{1}{2} c \epsilon_0 E_m^2$.

4. Как интенсивность электромагнитной волны зависит от расстояния до источника? Что можно сказать о зависимости напряжённости электрического поля от этого расстояния?

Как интенсивность электромагнитной волны зависит от расстояния до источника?

Для ответа на этот вопрос рассмотрим модель точечного изотропного источника, который излучает электромагнитные волны с постоянной мощностью $P$ равномерно во всех направлениях. В этом случае энергия волны распространяется в пространстве, распределяясь по поверхности сферы, центр которой совпадает с источником.

Интенсивность $I$ электромагнитной волны — это физическая величина, равная энергии, переносимой волной за единицу времени через единицу площади поверхности, перпендикулярной направлению распространения волны. Иными словами, это мощность $P$ на единицу площади $S$: $I = \frac{P}{S}$

На расстоянии $r$ от источника вся излучаемая мощность проходит через поверхность сферы радиусом $r$. Площадь этой сферы равна: $S = 4\pi r^2$

Подставив выражение для площади сферы в формулу интенсивности, получим её зависимость от расстояния: $I = \frac{P}{4\pi r^2}$

Из данной формулы следует, что интенсивность электромагнитной волны обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника. Это фундаментальное соотношение известно как закон обратных квадратов.

Ответ: Интенсивность электромагнитной волны от точечного источника убывает обратно пропорционально квадрату расстояния до него ($I \propto \frac{1}{r^2}$).

Что можно сказать о зависимости напряжённости электрического поля от этого расстояния?

Интенсивность электромагнитной волны также напрямую связана с амплитудными значениями напряжённости электрического ($E_{max}$) и индукции магнитного ($B_{max}$) полей. Средняя по времени интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды напряжённости электрического поля: $I = \frac{1}{2}c\epsilon_0 E_{max}^2$ где $c$ — скорость света, а $\epsilon_0$ — электрическая постоянная.

Таким образом, мы имеем две зависимости для интенсивности:

• $I \propto \frac{1}{r^2}$ (из-за геометрического расхождения волны)
• $I \propto E_{max}^2$ (из определения интенсивности через параметры поля)

Сопоставляя эти два соотношения, мы можем установить связь между амплитудой электрического поля и расстоянием до источника: $E_{max}^2 \propto \frac{1}{r^2}$

Чтобы найти зависимость самой напряжённости, извлечём квадратный корень из обеих частей этой пропорциональности: $E_{max} \propto \sqrt{\frac{1}{r^2}}$ $E_{max} \propto \frac{1}{r}$

Следовательно, амплитуда напряжённости электрического поля в волне убывает обратно пропорционально первой степени расстояния от источника.

Ответ: Напряжённость электрического поля (её амплитуда) в электромагнитной волне убывает обратно пропорционально расстоянию до источника ($E \propto \frac{1}{r}$).

5. Как интенсивность электромагнитной волны зависит от её частоты? Объясните, почему энергетически выгодно излучение электромагнитных волн больших частот.

Решение

Интенсивность электромагнитной волны ($I$) – это физическая величина, равная энергии, которую волна переносит через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны, за единицу времени. Источником электромагнитных волн являются ускоренно движущиеся электрические заряды. Для наиболее простого источника, такого как электрический диполь, совершающий гармонические колебания (осциллирующий диполь), теория предсказывает очень сильную зависимость мощности излучения от частоты колебаний.

Средняя мощность $\langle P \rangle$, излучаемая осциллирующим диполем, определяется формулой: $$ \langle P \rangle = \frac{p_0^2 \omega^4}{12\pi \epsilon_0 c^3} $$ где $p_0$ – амплитуда дипольного момента, $\omega = 2\pi\nu$ – циклическая частота колебаний ($\nu$ - линейная частота), $\epsilon_0$ – электрическая постоянная, а $c$ – скорость света в вакууме.

Интенсивность волны на определенном расстоянии от источника прямо пропорциональна мощности источника. Следовательно, интенсивность излучаемой волны пропорциональна четвертой степени ее частоты: $$ I \propto \langle P \rangle \propto \omega^4 \propto \nu^4 $$ Это означает, что при увеличении частоты в 2 раза интенсивность излучения (при той же амплитуде колебаний диполя) возрастет в $2^4 = 16$ раз.

Эта сильная зависимость и объясняет, почему энергетически выгодно излучение электромагнитных волн больших частот.

С точки зрения классической электродинамики, "энергетическая выгодность" означает более высокую эффективность излучения. Из формулы $P \propto \nu^4$ следует, что для излучения заданной мощности на высокой частоте требуется гораздо меньшая амплитуда колебаний зарядов в источнике. Это делает процесс излучения гораздо более эффективным: можно получить мощное излучение от компактного источника с малыми затратами энергии на поддержание самих колебаний. Практическим примером является размер антенн: для эффективного излучения длинных (низкочастотных) волн нужны антенны размером в сотни метров, в то время как для высокочастотного излучения (например, Wi-Fi) достаточно крошечных антенн внутри устройства.

С точки зрения квантовой механики, электромагнитная волна представляет собой поток частиц-квантов, называемых фотонами. Энергия каждого отдельного фотона $E$ прямо пропорциональна частоте волны $\nu$: $$ E = h\nu $$ где $h$ – постоянная Планка. Таким образом, высокочастотное излучение состоит из более энергичных фотонов. Это "выгодно" для многих процессов, требующих преодоления энергетического барьера. Например, явление фотоэффекта, ионизация атомов или запуск химических реакций могут происходить только под действием фотонов, энергия которых выше определенного порогового значения, что соответствует достаточно высокой частоте излучения.

Ответ:

Интенсивность излучаемой электромагнитной волны пропорциональна четвертой степени ее частоты ($I \propto \nu^4$).

Излучение электромагнитных волн больших частот является энергетически выгодным, так как:

1. Согласно классической электродинамике, эффективность излучения энергии резко возрастает с частотой. Это позволяет получать большую мощность излучения при меньшей амплитуде колебаний источника, что делает процесс более эффективным и позволяет использовать компактные излучатели (антенны).

2. Согласно квантовой теории, энергия каждого кванта излучения (фотона) прямо пропорциональна частоте ($E=h\nu$). Высокочастотные волны переносят энергию более "концентрированными" порциями, что позволяет таким фотонам вызывать физические и химические процессы, невозможные для низкоэнергетических (низкочастотных) фотонов.