Номер 2, страница 109 - гдз по физике 11 класс учебник Касьянов

Задачи. § 31. Распространение электромагнитных волн. Глава 4. Излучение и приём электромагнитных волн радио и СВЧ - диапазона - номер 2, страница 109.

2. Колебательный контур радиоприёмника настроен на длину волны $\lambda = 300$ м. Катушка индуктивности в контуре обладает индуктивностью $L = 100$ мкГн. Найдите ёмкость конденсатора в контуре.

Дано:

Длина волны, $\lambda = 300$ м

Индуктивность катушки, $L = 100$ мкГн

Скорость света в вакууме, $c = 3 \cdot 10^8$ м/с

Перевод в систему СИ:

$L = 100 \text{ мкГн} = 100 \cdot 10^{-6} \text{ Гн} = 1 \cdot 10^{-4} \text{ Гн}$

Найти:

Ёмкость конденсатора, $C$.

Решение:

Колебательный контур настроен на определённую длину волны, что означает, что собственная частота колебаний контура совпадает с частотой принимаемой электромагнитной волны. Длина волны $\lambda$ связана с периодом $T$ электромагнитных колебаний в контуре через скорость света $c$ по формуле:

$\lambda = c \cdot T$

Период свободных электромагнитных колебаний в LC-контуре определяется формулой Томсона:

$T = 2\pi\sqrt{LC}$

где $L$ — индуктивность катушки, а $C$ — ёмкость конденсатора.

Приравняем два выражения для периода, выразив $T$ из первой формулы ($T = \lambda/c$) и подставив во вторую:

$\frac{\lambda}{c} = 2\pi\sqrt{LC}$

Чтобы найти ёмкость $C$, выразим её из этого уравнения. Сначала возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

$(\frac{\lambda}{c})^2 = (2\pi\sqrt{LC})^2$

$\frac{\lambda^2}{c^2} = 4\pi^2LC$

Теперь выразим $C$:

$C = \frac{\lambda^2}{4\pi^2c^2L}$

Подставим известные значения в полученную формулу:

$C = \frac{(300)^2}{4\pi^2(3 \cdot 10^8)^2 \cdot 10^{-4}} = \frac{9 \cdot 10^4}{4\pi^2 \cdot 9 \cdot 10^{16} \cdot 10^{-4}}$

Сократим $9$ в числителе и знаменателе и произведем вычисления со степенями:

$C = \frac{10^4}{4\pi^2 \cdot 10^{12}} = \frac{1}{4\pi^2} \cdot 10^{-8} \text{ Ф}$

Для вычисления численного значения используем приближение $\pi \approx 3.14$, откуда $\pi^2 \approx 9.87$:

$C \approx \frac{1}{4 \cdot 9.87} \cdot 10^{-8} \approx \frac{1}{39.48} \cdot 10^{-8} \approx 0.02533 \cdot 10^{-8} \text{ Ф}$

Запишем результат в стандартном виде и переведём в пикофарады (1 пФ = $10^{-12}$ Ф):

$C \approx 2.533 \cdot 10^{-10} \text{ Ф} = 253.3 \cdot 10^{-12} \text{ Ф} = 253.3 \text{ пФ}$

Ответ: ёмкость конденсатора в контуре составляет приблизительно $2.53 \cdot 10^{-10}$ Ф, или 253 пФ.