Номер 3, страница 109 - гдз по физике 11 класс учебник Касьянов

Задачи. § 31. Распространение электромагнитных волн. Глава 4. Излучение и приём электромагнитных волн радио и СВЧ - диапазона - номер 3, страница 109.

3. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью 1 мкГн и конденсатора, ёмкость которого может изменяться в пределах от $10^{-8}$ Ф до $4 \cdot 10^{-8}$ Ф.

На какой диапазон длин волн может быть настроен этот контур?

Дано:

$L = 1 \text{ мкГн}$

$C_{min} = 10^{-8} \text{ Ф}$

$C_{max} = 4 \cdot 10^{-8} \text{ Ф}$

$c = 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

$L = 1 \cdot 10^{-6} \text{ Гн}$

Найти:

Диапазон длин волн $\lambda_{min} - \lambda_{max}$

Решение:

Длина электромагнитной волны $\lambda$, которую излучает или принимает колебательный контур, связана с периодом $T$ собственных электромагнитных колебаний в нём соотношением $\lambda = cT$, где $c$ — скорость света в вакууме.

Период собственных колебаний в контуре определяется по формуле Томсона: $T = 2\pi\sqrt{LC}$

Объединив эти две формулы, получим выражение для длины волны, на которую настроен контур: $\lambda = 2\pi c \sqrt{LC}$

Так как ёмкость конденсатора $C$ может изменяться в заданных пределах, то и длина волны $\lambda$ также будет изменяться в соответствующем диапазоне. Найдем минимальную и максимальную возможные длины волн.

Минимальная длина волны $\lambda_{min}$ соответствует минимальной ёмкости $C_{min}$: $\lambda_{min} = 2\pi c \sqrt{LC_{min}}$

Подставим числовые значения: $\lambda_{min} = 2 \cdot 3.14 \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} \cdot \sqrt{1 \cdot 10^{-6} \text{ Гн} \cdot 10^{-8} \text{ Ф}} = 18.84 \cdot 10^8 \cdot \sqrt{10^{-14}} \text{ м} = 18.84 \cdot 10^8 \cdot 10^{-7} \text{ м} \approx 188 \text{ м}$

Максимальная длина волны $\lambda_{max}$ соответствует максимальной ёмкости $C_{max}$: $\lambda_{max} = 2\pi c \sqrt{LC_{max}}$

Подставим числовые значения: $\lambda_{max} = 2 \cdot 3.14 \cdot 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} \cdot \sqrt{1 \cdot 10^{-6} \text{ Гн} \cdot 4 \cdot 10^{-8} \text{ Ф}} = 18.84 \cdot 10^8 \cdot \sqrt{4 \cdot 10^{-14}} \text{ м} = 18.84 \cdot 10^8 \cdot 2 \cdot 10^{-7} \text{ м} \approx 377 \text{ м}$

Таким образом, контур может быть настроен на диапазон длин волн от $188$ м до $377$ м.

Ответ: контур может быть настроен на диапазон длин волн от $188 \text{ м}$ до $377 \text{ м}$.