Страница 97 - гдз по физике 11 класс учебник Касьянов

В О П Р О С Ы

1. Какая электрическая цепь называется колебательным контуром?

Колебательным контуром называется электрическая цепь, которая состоит из соединенных последовательно или параллельно катушки индуктивности и конденсатора. Главное свойство такой цепи — способность к возникновению свободных электромагнитных колебаний, то есть периодических изменений заряда на обкладках конденсатора и силы тока в катушке.

Рассмотрим идеальный колебательный контур, который состоит только из катушки индуктивности $L$ и конденсатора $C$ (без активного сопротивления). Процесс колебаний в нем можно описать следующим образом:

1. Конденсатору сообщают некоторый заряд $q_{max}$, и он запасает энергию электрического поля $W_E = \frac{q_{max}^2}{2C}$. В этот момент ток в цепи равен нулю.
2. Конденсатор начинает разряжаться через катушку индуктивности. В цепи возникает электрический ток, сила которого постепенно нарастает. Этот ток создает в катушке магнитное поле. Энергия электрического поля конденсатора начинает переходить в энергию магнитного поля катушки.
3. Когда конденсатор полностью разрядится (заряд на его обкладках равен нулю), сила тока в катушке достигает максимального значения $I_{max}$. В этот момент вся энергия контура сосредоточена в магнитном поле катушки: $W_M = \frac{LI_{max}^2}{2}$.
4. Несмотря на отсутствие заряда на конденсаторе, ток в цепи не прекращается мгновенно из-за явления самоиндукции. Магнитное поле катушки, уменьшаясь, поддерживает ток в том же направлении, который начинает перезаряжать конденсатор. Полярность на обкладках конденсатора меняется на противоположную.
5. Процесс завершается, когда ток в цепи становится равным нулю, а конденсатор снова полностью заряжен, но с обратной полярностью. Вся энергия опять становится энергией электрического поля.

Далее цикл повторяется в обратном направлении. Таким образом, в контуре происходят периодические превращения энергии электрического поля в энергию магнитного поля и обратно.

Период собственных (свободных) колебаний в идеальном контуре определяется формулой Томсона: $T = 2\pi\sqrt{LC}$

В реальных колебательных контурах всегда присутствует активное сопротивление $R$, на котором происходит потеря энергии (выделяется теплота). Из-за этого свободные колебания в реальном контуре являются затухающими.

Ответ: Колебательный контур — это электрическая цепь, содержащая индуктивность (катушку) $L$ и ёмкость (конденсатор) $C$, в которой могут происходить свободные электромагнитные колебания, представляющие собой периодический переход энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки и обратно.

2. При каком условии сохраняется энергия электромагнитного поля в контуре?

Энергия электромагнитного поля в колебательном контуре сохраняется при условии, что контур является идеальным, то есть его активное сопротивление равно нулю.

Полная энергия электромагнитного поля в контуре в любой момент времени складывается из энергии электрического поля, запасенной в конденсаторе ($W_E$), и энергии магнитного поля, запасенной в катушке индуктивности ($W_M$):

$W = W_E + W_M$

Энергия электрического поля конденсатора вычисляется по формуле:

$W_E = \frac{q^2}{2C} = \frac{CU^2}{2}$

где $q$ — заряд на обкладках конденсатора, $C$ — его электроемкость, а $U$ — напряжение на нем.

Энергия магнитного поля катушки вычисляется по формуле:

$W_M = \frac{LI^2}{2}$

где $L$ — индуктивность катушки, а $I$ — сила тока, протекающего через нее.

Таким образом, полная энергия контура равна:

$W = \frac{CU^2}{2} + \frac{LI^2}{2}$

В любом реальном контуре всегда есть активное сопротивление $R$ (сопротивление проводов, обмотки катушки и т.д.). При прохождении тока через это сопротивление часть электромагнитной энергии преобразуется в теплоту в соответствии с законом Джоуля-Ленца. Мощность этих тепловых потерь равна $P = I^2R$. Из-за этих потерь энергия в реальном контуре не сохраняется, а постепенно уменьшается, что приводит к затуханию электромагнитных колебаний.

Для того чтобы полная энергия электромагнитного поля $W$ сохранялась (была постоянной), необходимо, чтобы отсутствовали потери энергии. Это означает, что мощность тепловых потерь должна быть равна нулю:

$I^2R = 0$

Поскольку в процессе колебаний сила тока $I$ периодически изменяется и не всегда равна нулю, для выполнения этого условия необходимо, чтобы активное сопротивление контура было равно нулю:

$R = 0$

Колебательный контур, в котором отсутствует активное сопротивление ($R=0$), называется идеальным колебательным контуром. В таком контуре энергия без потерь периодически переходит от электрического поля конденсатора к магнитному полю катушки и обратно, и ее полное значение остается постоянным. Также для полного сохранения энергии пренебрегают потерями на излучение электромагнитных волн.

Ответ: Энергия электромагнитного поля в контуре сохраняется при условии, что активное сопротивление контура равно нулю ($R=0$).

3. Запишите закон сохранения энергии для колебательного контура.

Решение

Колебательный контур — это электрическая цепь, в простейшем случае состоящая из последовательно соединенных конденсатора ёмкостью $C$ и катушки индуктивностью $L$. В идеальном колебательном контуре, активное сопротивление которого равно нулю ($R=0$), происходят незатухающие электромагнитные колебания. Во время этих колебаний происходит непрерывное превращение энергии электрического поля, запасенной в конденсаторе, в энергию магнитного поля, запасенную в катушке, и обратно.

Полная электромагнитная энергия $W$ колебательного контура в любой момент времени является суммой энергии электрического поля конденсатора $W_C$ и энергии магнитного поля катушки индуктивности $W_L$.

Энергия электрического поля конденсатора вычисляется по формуле:

$W_C = \frac{q^2}{2C}$

где $q$ — мгновенное значение заряда на обкладках конденсатора, а $C$ — его электроёмкость.

Энергия магнитного поля катушки вычисляется по формуле:

$W_L = \frac{LI^2}{2}$

где $L$ — индуктивность катушки, а $I$ — мгновенное значение силы тока в ней.

Согласно закону сохранения энергии, для идеального колебательного контура, в котором отсутствуют потери энергии (например, на нагревание проводов), полная электромагнитная энергия остается неизменной с течением времени. Математически это выражается следующим образом:

$W = W_C + W_L = \frac{q^2}{2C} + \frac{LI^2}{2} = const$

Эта полная энергия $W$ равна максимальному значению энергии электрического поля $W_{C_{max}}$, которое достигается в моменты времени, когда ток в контуре равен нулю ($I=0$), а заряд на конденсаторе максимален ($q = q_{max}$). Также эта полная энергия равна максимальному значению энергии магнитного поля $W_{L_{max}}$, которое достигается, когда конденсатор полностью разряжен ($q=0$), а ток в контуре достигает своего максимального значения ($I = I_{max}$).

Следовательно, закон сохранения энергии для колебательного контура можно записать в развернутом виде:

$\frac{q^2}{2C} + \frac{LI^2}{2} = \frac{q_{max}^2}{2C} = \frac{LI_{max}^2}{2}$

где $q_{max}$ и $I_{max}$ — это амплитудные (максимальные) значения заряда и силы тока соответственно.

Ответ: Закон сохранения энергии для идеального колебательного контура утверждает, что полная электромагнитная энергия, равная сумме энергии электрического поля конденсатора и энергии магнитного поля катушки, сохраняется с течением времени: $W = \frac{q^2}{2C} + \frac{LI^2}{2} = \text{const}$. Это соотношение также можно выразить через амплитудные значения заряда и тока: $\frac{q^2}{2C} + \frac{LI^2}{2} = \frac{q_{max}^2}{2C} = \frac{LI_{max}^2}{2}$.

4. Как зависит период собственных колебаний в контуре от индуктивности катушки и ёмкости конденсатора?

Решение

Период собственных электромагнитных колебаний в идеальном колебательном контуре (LC-контуре), который состоит из катушки индуктивности и конденсатора, определяется формулой Томсона. Эта формула устанавливает прямую связь между периодом колебаний и параметрами элементов контура.

Формула Томсона выглядит следующим образом:

$T = 2\pi\sqrt{LC}$

где $T$ — период собственных колебаний, $L$ — индуктивность катушки, а $C$ — ёмкость конденсатора.

Анализируя эту формулу, можно определить характер зависимости периода от каждого из параметров.

Зависимость от индуктивности катушки

Период колебаний $T$ прямо пропорционален квадратному корню из индуктивности $L$. Математически это выражается как $T \propto \sqrt{L}$. Это означает, что если увеличить индуктивность катушки, оставив ёмкость неизменной, период колебаний увеличится. И наоборот, при уменьшении индуктивности период колебаний станет меньше. Физический смысл этой зависимости заключается в том, что индуктивность характеризует инертность электрической цепи по отношению к изменению силы тока. Чем больше индуктивность, тем медленнее нарастает и спадает ток в катушке, что приводит к увеличению времени одного полного колебания.

Зависимость от ёмкости конденсатора

Период колебаний $T$ также прямо пропорционален квадратному корню из ёмкости конденсатора $C$. Математически это выражается как $T \propto \sqrt{C}$. Следовательно, увеличение ёмкости конденсатора (при постоянной индуктивности) приведёт к увеличению периода колебаний. Уменьшение ёмкости вызовет сокращение периода. Физически это объясняется тем, что конденсатор с большей ёмкостью способен накопить больший заряд при том же напряжении. Процессы его зарядки и разрядки занимают больше времени, что и растягивает период электромагнитных колебаний в контуре.

Ответ: Период собственных колебаний в контуре прямо пропорционален квадратному корню из индуктивности катушки и квадратному корню из ёмкости конденсатора. При увеличении любого из этих параметров (индуктивности или ёмкости) период колебаний увеличивается. Зависимость описывается формулой Томсона: $T = 2\pi\sqrt{LC}$.

5. При каком условии колебания в контуре можно считать гармоническими?

Решение

Колебания в электрическом контуре можно считать гармоническими при выполнении условия, связанного с потерями энергии в этом контуре.

Гармонические колебания — это периодические изменения физической величины (в данном случае заряда, напряжения или силы тока), которые происходят по закону синуса или косинуса. Важнейшей характеристикой таких колебаний является постоянство их амплитуды. Для заряда $q$ на обкладках конденсатора это можно записать в виде уравнения:

$q(t) = q_m \cos(\omega_0 t + \phi)$

где $q_m$ — амплитуда заряда (постоянная величина), $\omega_0$ — собственная циклическая частота колебаний, $t$ — время, а $\phi$ — начальная фаза.

Такие незатухающие колебания с постоянной амплитудой возможны только в так называемом идеальном колебательном контуре. Главное условие, которому должен удовлетворять идеальный контур, — это полное отсутствие потерь энергии.

В любом реальном колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивности $L$ и конденсатора $C$, всегда есть активное сопротивление $R$ (сопротивление провода катушки, соединительных проводов и т.д.). При протекании тока через это сопротивление часть электромагнитной энергии необратимо превращается во внутреннюю энергию (теплоту), что приводит к затуханию колебаний — их амплитуда со временем экспоненциально уменьшается.

Математически процесс в идеальном контуре (где $R=0$) описывается дифференциальным уравнением второго порядка:

$L q'' + \frac{1}{C}q = 0$

Решением этого уравнения являются гармонические функции, описанные выше.

Для реального контура (где $R > 0$) уравнение принимает вид:

$L q'' + R q' + \frac{1}{C}q = 0$

Решением этого уравнения являются функции затухающих колебаний, которые не являются строго гармоническими, так как их амплитуда не постоянна.

Таким образом, для того чтобы колебания в контуре можно было считать гармоническими, необходимо, чтобы его активное сопротивление было равно нулю.

Ответ: Колебания в контуре можно считать гармоническими при условии, что его активное сопротивление равно нулю ($R=0$). На практике это означает, что сопротивление контура должно быть пренебрежимо малым, чтобы затухание колебаний было незначительным в течение рассматриваемого времени.

З А Д А Ч И

1. Конденсатор ёмкостью $1 \text{ мкФ}$, заряженный до напряжения $225 \text{ В}$, подключили к катушке индуктивностью $10 \text{ мГн}$. Найдите максимальную силу тока в контуре.

Дано:

$C = 1 \text{ мкФ} = 1 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

$U_{max} = 225 \text{ В}$

$L = 10 \text{ мГн} = 10 \cdot 10^{-3} \text{ Г} = 10^{-2} \text{ Г}$

Найти:

$I_{max}$

Решение:

В идеальном колебательном контуре (LC-контуре), состоящем из конденсатора и катушки индуктивности, полная электромагнитная энергия сохраняется. Эта энергия периодически переходит из энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки и обратно.

Максимальная энергия электрического поля конденсатора $W_{C_{max}}$ достигается в момент, когда напряжение на нем максимально, а ток в цепи равен нулю. Она вычисляется по формуле:

$W_{C_{max}} = \frac{C U_{max}^2}{2}$

Максимальная энергия магнитного поля катушки $W_{L_{max}}$ достигается в момент, когда сила тока в ней максимальна, а напряжение на конденсаторе (и, следовательно, его заряд) равно нулю. Она вычисляется по формуле:

$W_{L_{max}} = \frac{L I_{max}^2}{2}$

Согласно закону сохранения энергии для колебательного контура, максимальная энергия конденсатора равна максимальной энергии катушки:

$W_{C_{max}} = W_{L_{max}}$

Подставим формулы для энергий в это равенство:

$\frac{C U_{max}^2}{2} = \frac{L I_{max}^2}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:

$C U_{max}^2 = L I_{max}^2$

Выразим из этого уравнения максимальную силу тока $I_{max}$:

$I_{max}^2 = \frac{C U_{max}^2}{L}$

$I_{max} = \sqrt{\frac{C U_{max}^2}{L}} = U_{max} \sqrt{\frac{C}{L}}$

Подставим числовые значения из условия задачи в систему СИ:

$I_{max} = 225 \cdot \sqrt{\frac{1 \cdot 10^{-6}}{10^{-2}}} = 225 \cdot \sqrt{10^{-6 - (-2)}} = 225 \cdot \sqrt{10^{-4}}$

$I_{max} = 225 \cdot 10^{-2} = 2.25 \text{ А}$

Ответ: максимальная сила тока в контуре равна 2.25 А.

2. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью $L = 4 \text{ мГн}$ и плоско-воздушного конденсатора. Площадь пластин конденсатора $S = 10 \text{ см}^2$, расстояние между ними $d = 1 \text{ мм}$. Найдите период собственных колебаний в контуре.

Дано:

$L = 4\ мГн = 4 \cdot 10^{-3}\ Гн$

$S = 10\ см^2 = 10 \cdot (10^{-2}\ м)^2 = 10 \cdot 10^{-4}\ м^2 = 10^{-3}\ м^2$

$d = 1\ мм = 1 \cdot 10^{-3}\ м$

$\varepsilon = 1$ (для воздушного конденсатора)

$\varepsilon_0 = 8.85 \cdot 10^{-12}\ Ф/м$ (электрическая постоянная)

Найти:

$T$ - ?

Решение:

Период собственных электромагнитных колебаний в колебательном контуре определяется формулой Томсона:

$T = 2\pi\sqrt{LC}$

где $L$ — индуктивность катушки, а $C$ — ёмкость конденсатора.

Ёмкость плоского воздушного конденсатора можно рассчитать по формуле:

$C = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d}$

Подставим известные значения, чтобы найти ёмкость:

$C = \frac{1 \cdot 8.85 \cdot 10^{-12}\ Ф/м \cdot 10^{-3}\ м^2}{10^{-3}\ м} = 8.85 \cdot 10^{-12}\ Ф$

Теперь, зная индуктивность и ёмкость, можем найти период колебаний:

$T = 2\pi\sqrt{4 \cdot 10^{-3}\ Гн \cdot 8.85 \cdot 10^{-12}\ Ф} = 2\pi\sqrt{35.4 \cdot 10^{-15}\ с^2} = 2\pi\sqrt{3.54 \cdot 10^{-14}\ с^2}$

$T = 2\pi \cdot \sqrt{3.54} \cdot 10^{-7}\ с \approx 2 \cdot 3.14 \cdot 1.88 \cdot 10^{-7}\ с \approx 11.8 \cdot 10^{-7}\ с \approx 1.18 \cdot 10^{-6}\ с$

Период можно также выразить в микросекундах: $1.18 \cdot 10^{-6}\ с = 1.18\ мкс$.

Ответ: период собственных колебаний в контуре равен $1.18 \cdot 10^{-6}\ с$.

3. Найдите диапазон частот $v_1 - v_2$ колебаний в контуре с катушкой, индуктивность которой $L = 1 \text{ мГн}$, и конденсатором, ёмкость которого может изменяться в пределах от $C_1 = 40 \text{ пФ}$ до $C_2 = 90 \text{ пФ}$.

Дано:

Индуктивность катушки: $L = 1 \text{ мГн} = 1 \cdot 10^{-3} \text{ Гн}$

Минимальная ёмкость конденсатора: $C_1 = 40 \text{ пФ} = 40 \cdot 10^{-12} \text{ Ф} = 4 \cdot 10^{-11} \text{ Ф}$

Максимальная ёмкость конденсатора: $C_2 = 90 \text{ пФ} = 90 \cdot 10^{-12} \text{ Ф} = 9 \cdot 10^{-11} \text{ Ф}$

Найти:

Диапазон частот колебаний $ν_1 - ν_2$.

Решение:

Собственная частота колебаний в LC-контуре (колебательном контуре) определяется по формуле Томсона:$$ \nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} $$где $\nu$ — частота в Герцах (Гц), $L$ — индуктивность в Генри (Гн), $C$ — ёмкость в Фарадах (Ф).

Из формулы видно, что частота колебаний $\nu$ обратно пропорциональна квадратному корню из ёмкости $C$. Следовательно, минимальной ёмкости $C_1$ будет соответствовать максимальная частота колебаний $\nu_{max}$, а максимальной ёмкости $C_2$ — минимальная частота колебаний $\nu_{min}$.

Рассчитаем минимальную частоту колебаний $\nu_{min}$, которая соответствует максимальной ёмкости $C_2 = 9 \cdot 10^{-11} \text{ Ф}$:$$ \nu_{min} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_2}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{1 \cdot 10^{-3} \text{ Гн} \cdot 9 \cdot 10^{-11} \text{ Ф}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{9 \cdot 10^{-14} \text{ с}^2}} $$$$ \nu_{min} = \frac{1}{2\pi \cdot 3 \cdot 10^{-7} \text{ с}} = \frac{10^7}{6\pi} \text{ Гц} $$Принимая $\pi \approx 3.14159$, получаем:$$ \nu_{min} \approx \frac{10000000}{6 \cdot 3.14159} \approx 530516 \text{ Гц} \approx 531 \text{ кГц} $$

Рассчитаем максимальную частоту колебаний $\nu_{max}$, которая соответствует минимальной ёмкости $C_1 = 4 \cdot 10^{-11} \text{ Ф}$:$$ \nu_{max} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC_1}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{1 \cdot 10^{-3} \text{ Гн} \cdot 4 \cdot 10^{-11} \text{ Ф}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{4 \cdot 10^{-14} \text{ с}^2}} $$$$ \nu_{max} = \frac{1}{2\pi \cdot 2 \cdot 10^{-7} \text{ с}} = \frac{10^7}{4\pi} \text{ Гц} $$Принимая $\pi \approx 3.14159$, получаем:$$ \nu_{max} \approx \frac{10000000}{4 \cdot 3.14159} \approx 795775 \text{ Гц} \approx 796 \text{ кГц} $$

Следовательно, диапазон частот колебаний в контуре составляет от 531 кГц до 796 кГц.

Ответ: диапазон частот составляет от $531 \text{ кГц}$ до $796 \text{ кГц}$.